Matematyka.pl

Dana jest funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|}
\hline
X _{i} & -2 & -1 & 2 & 5 \\ \hline
P _{i} & 0,3 & 0,1 & C & 0,4 \\ \hline
\end{tabular}}\)

Wyznaczyć dwoma sposobami wartość przeciętną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ U=X ^{2}}\).

Rozwiązanie :

\(\displaystyle{ C=1-0,4-0,1-0,3=0,2}\)

I Sposób :

\(\displaystyle{ EX= ?}\)
\(\displaystyle{ D ^{2} X = ?}\)

\(\displaystyle{ EX = (-2 \cdot 0,4)+(-1 \cdot 0,1)+(2 \cdot 0,2)+(5 \cdot 0,4)=1,7}\)
\(\displaystyle{ EX ^{2} = (-2 ^{2} \cdot 0,4)+(-1^{2} \cdot 0,1)+(2^{2} \cdot 0,2)+(5^{2} \cdot 0,4)=12,1}\)

II Sposób :

\(\displaystyle{ EU=?}\)
\(\displaystyle{ E^{2}U=?}\)

\(\displaystyle{ EU=E(X^{2} )=EX^{2} = 12,1}\)
\(\displaystyle{ EU^{2} =E(X^{2} )^{2} =EX^{4}}\)
\(\displaystyle{ EX^{4}= (-2 ^{4} \cdot 0,4)+(-1^{4} \cdot 0,1)+(2^{4} \cdot 0,2)+(5^{4} \cdot 0,4)=258,1}\)
\(\displaystyle{ D ^{2} U= EU ^{2}-(EU) ^{2} =258,1-146,1=111,69}\)

Dobrze zrobiłem to zadanie ? I czy ta wartość C jest poprawnie matematycznie wyliczona ? Czy jakoś inaczej powinno to wyglądać ?

PS Już nawet nie chodzi o dokładność obliczeń,bo widzę,że źle podstawiłem,ale o metodę.

Wyniki dobrze. Zrobiłeś błąd literowy pisząc \(\displaystyle{ 0.4}\) zamiast \(\displaystyle{ 0.3}\) ale dalej liczysz poprawnie.

Dwa sposoby są takie: niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie zmienną losową.

1. \(\displaystyle{ D^2Y=E\left((Y-EY)^2\right)}\)

2. \(\displaystyle{ D^2Y=E(Y^2)-(EY)^2}\)

Mam wrażenie, że o to chodzi.