długość boku

[Balsamista]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ D}\) dzieli bok \(\displaystyle{ AB}\) na odcinki długości \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 8}\). Miara kąta \(\displaystyle{ \angle ACD}\) jest dwa razy mniejsza niż miara kąta \(\displaystyle{ \angle DCB}\). Wyznacz długość boku \(\displaystyle{ BC}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ |AC| = 6}\).

Wiem, że w tym zadaniu jest błąd z wynikiem ale nie mam w ogóle pomysłu jak to zacząć, pomożecie?

[piasek101]

Z twierdzenia sinusów w trzech trójkątach jest tyle równań co niewiadomych (do końca nie liczyłem, nie wiem jak idzie).

Może jest coś ,,sympatyczniejszego".

[lukasz1804]

Ja zrobiłbym tak (być może to bardzo karkołomne rozwiązanie):

1) oznaczyć \(\displaystyle{ \alpha=|\angle ACD|, \beta=|\angle ADC|}\) - wtedy \(\displaystyle{ |\angle BCD|=2\alpha, |\angle CDB|=\pi-\beta}\)
2) zastosować twierdzenie sinusów w trójkątach \(\displaystyle{ ACD, BCD}\) (zapisując stosunki względem wszystkich powyższych kątów;

Po powyższych krokach powstanie układ równań, z którego można wyznaczyć zależność między \(\displaystyle{ |BC|}\) a \(\displaystyle{ \cos\beta}\).

3) zastosować twierdzenie kosinusów w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) względem kąta \(\displaystyle{ \angle ACB}\)

Teraz powstanie już tylko równanie sprowadzalne do dwukwadratowego, z niewiadomą długością szukanego boku.

[piasek101]

Czyli jest tak jak u mnie.

Czekamy (ewentualnie) na inne.

[bb314]

\(\displaystyle{ \angle ACD=\alpha\ \ \ \ \angle BCD=2\alpha\ \ \ \ \angle CAB=\beta}\)
\(\displaystyle{ AC=6\ \ \ \ AD=4\ \ \ \ BD=8\ \ \ \ AB=12\ \ \ \ BC=x}\)

z tw. kosinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)
\(\displaystyle{ x^2=6^2+12^2-2\cdot6\cdot12\cdot \cos \beta\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\cos \beta=\frac{18-x^2}{144}}\)

z tw. sinusów w \(\displaystyle{ \Delta ADC}\)
\(\displaystyle{ \frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}=\frac{4}{\sin \alpha}\ \ \ \ \to\ \ \ \ \color{magenta}\sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{2}\sin \alpha}\) \(\displaystyle{ (^*)}\)

z tw. sinusów w \(\displaystyle{ \Delat BCD}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin (\alpha+\beta)}=\frac{8}{\sin 2\alpha}\ \ \to\ \ \frac{2x}{3\sin \alpha}=\frac{8}{2\sin \alpha\cdot \cos \alpha}\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\cos \alpha=\frac{6}{x}}\)

z tw. sinusów w \(\displaystyle{ \Delta ABC}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin \beta}=\frac{12}{\sin 3\alpha}\ \ \ \ \to\ \ \ \ \sin \beta=\frac{x}{12}\sin 3\alpha\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\sin \beta=\frac{x}{12}\cdot \sin \alpha\cdot(4\cos ^2\alpha-1)}\)

z \(\displaystyle{ (^*)}\)

\(\displaystyle{ \frac23\sin \alpha=\sin \alpha\cdot \cos \beta+\sin \beta\cdot \cos \alpha\\
\frac23\sin \alpha=\sin \alpha\cdot \frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot \sin \alpha\cdot(4\cos ^2\alpha-1)\cdot \cos \alpha\ \ /:\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ \frac23=\frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot (4\cos ^2\alpha-1)\cdot \cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac23=\frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot \left(4\cdot\left(\frac{6}{x}\right)^2-1\right)\cdot \frac{6}{x}\ \ \ \to\ \ \ \color{blue}x=3\sqrt{2\sqrt{41}-6}}\) \(\displaystyle{ \approx 7,8266}\)

\(\displaystyle{ \color{blue}\alpha \approx 39,95^o\ \ \ \ \ \ \beta \approx 34,45^o}\)

[Balsamista]

z tw. sinusów w \(\displaystyle{ \Delta ADC}\)
\(\displaystyle{ \frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}}\)

dlaczego w twierdzeniu sinusów zamiast trzeciego sinusa np. gamma można użyć sinusa alfa+beta?

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ \sin\gamma=\sin[\pi-(\alpha+\beta)]=\sin(\alpha+\beta)}\)

(twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych w trójkącie + wzór redukcyjny)

[bb314]

\(\displaystyle{ \frac{6}{\sin \gamma}=\frac{6}{\sin \left(180^o-(\alpha+\beta)\right)}=\frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}}\)

[Balsamista]

Dzięki wielkie za pomoc:)