długość boku

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Balsamista
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 29 gru 2011, o 16:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kościan

długość boku

Post autor: Balsamista » 19 wrz 2012, o 20:13

W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) dzieli bok \(AB\) na odcinki długości \(4\) i \(8\). Miara kąta \(\angle ACD\) jest dwa razy mniejsza niż miara kąta \(\angle DCB\). Wyznacz długość boku \(BC\), jeśli wiadomo, że \(|AC| = 6\).

Wiem, że w tym zadaniu jest błąd z wynikiem ale nie mam w ogóle pomysłu jak to zacząć, pomożecie?
Ostatnio zmieniony 19 wrz 2012, o 20:18 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Warto wszystkie wyrażenia matematyczne umieszczać między tagami [latex], [/latex]. Temat umieszczony w złym dziale.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22948
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski

długość boku

Post autor: piasek101 » 19 wrz 2012, o 20:47

Z twierdzenia sinusów w trzech trójkątach jest tyle równań co niewiadomych (do końca nie liczyłem, nie wiem jak idzie).

Może jest coś ,,sympatyczniejszego".

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

długość boku

Post autor: lukasz1804 » 19 wrz 2012, o 20:52

Ja zrobiłbym tak (być może to bardzo karkołomne rozwiązanie):

1) oznaczyć \(\alpha=|\angle ACD|, \beta=|\angle ADC|\) - wtedy \(|\angle BCD|=2\alpha, |\angle CDB|=\pi-\beta\)
2) zastosować twierdzenie sinusów w trójkątach \(ACD, BCD\) (zapisując stosunki względem wszystkich powyższych kątów;

Po powyższych krokach powstanie układ równań, z którego można wyznaczyć zależność między \(|BC|\) a \(\cos\beta\).

3) zastosować twierdzenie kosinusów w trójkącie \(ABC\) względem kąta \(\angle ACB\)

Teraz powstanie już tylko równanie sprowadzalne do dwukwadratowego, z niewiadomą długością szukanego boku.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22948
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski

długość boku

Post autor: piasek101 » 19 wrz 2012, o 21:00

Czyli jest tak jak u mnie.

Czekamy (ewentualnie) na inne.

Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów

długość boku

Post autor: bb314 » 20 wrz 2012, o 14:50

\(\angle ACD=\alpha\ \ \ \ \angle BCD=2\alpha\ \ \ \ \angle CAB=\beta\)
\(AC=6\ \ \ \ AD=4\ \ \ \ BD=8\ \ \ \ AB=12\ \ \ \ BC=x\)

z tw. kosinusów w \(\Delta ABC\)
\(x^2=6^2+12^2-2\cdot6\cdot12\cdot \cos \beta\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\cos \beta=\frac{18-x^2}{144}\)

z tw. sinusów w \(\Delta ADC\)
\(\frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}=\frac{4}{\sin \alpha}\ \ \ \ \to\ \ \ \ \color{magenta}\sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{2}\sin \alpha\) \((^*)\)

z tw. sinusów w \(\Delat BCD\)
\(\frac{x}{\sin (\alpha+\beta)}=\frac{8}{\sin 2\alpha}\ \ \to\ \ \frac{2x}{3\sin \alpha}=\frac{8}{2\sin \alpha\cdot \cos \alpha}\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\cos \alpha=\frac{6}{x}\)

z tw. sinusów w \(\Delta ABC\)
\(\frac{x}{\sin \beta}=\frac{12}{\sin 3\alpha}\ \ \ \ \to\ \ \ \ \sin \beta=\frac{x}{12}\sin 3\alpha\ \ \ \to\ \ \ \color{magenta}\sin \beta=\frac{x}{12}\cdot \sin \alpha\cdot(4\cos ^2\alpha-1)\)

z \((^*)\)

\(\frac23\sin \alpha=\sin \alpha\cdot \cos \beta+\sin \beta\cdot \cos \alpha\\ \frac23\sin \alpha=\sin \alpha\cdot \frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot \sin \alpha\cdot(4\cos ^2\alpha-1)\cdot \cos \alpha\ \ /:\sin \alpha\)
\(\frac23=\frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot (4\cos ^2\alpha-1)\cdot \cos \alpha\)

\(\frac23=\frac{18-x^2}{144}+\frac{x}{12}\cdot \left(4\cdot\left(\frac{6}{x}\right)^2-1\right)\cdot \frac{6}{x}\ \ \ \to\ \ \ \color{blue}x=3\sqrt{2\sqrt{41}-6}\) \(\approx 7,8266\)

\(\color{blue}\alpha \approx 39,95^o\ \ \ \ \ \ \beta \approx 34,45^o\)
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2012, o 20:15 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Balsamista
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 29 gru 2011, o 16:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kościan

długość boku

Post autor: Balsamista » 20 wrz 2012, o 20:33

z tw. sinusów w \(\Delta ADC\)
\(\frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}\)
dlaczego w twierdzeniu sinusów zamiast trzeciego sinusa np. gamma można użyć sinusa alfa+beta?

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

długość boku

Post autor: lukasz1804 » 20 wrz 2012, o 21:19

\(\sin\gamma=\sin[\pi-(\alpha+\beta)]=\sin(\alpha+\beta)\)

(twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych w trójkącie + wzór redukcyjny)

Awatar użytkownika
bb314
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 871
Rejestracja: 3 sie 2012, o 19:01
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Namysłów

długość boku

Post autor: bb314 » 20 wrz 2012, o 21:20

\(\frac{6}{\sin \gamma}=\frac{6}{\sin \left(180^o-(\alpha+\beta)\right)}=\frac{6}{\sin (\alpha+\beta)}\)
Ostatnio zmieniony 20 wrz 2012, o 21:26 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Balsamista
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 29 gru 2011, o 16:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kościan

długość boku

Post autor: Balsamista » 24 wrz 2012, o 19:03

Dzięki wielkie za pomoc:)

ODPOWIEDZ