Równania Lagrange'a II - klocek, pręt, równia, sprężyna

rekram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 18 cze 2012, o 01:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równania Lagrange'a II - klocek, pręt, równia, sprężyna

Post autor: rekram » 18 wrz 2012, o 13:43

Witam, mam problem z zadaniem, którego rysunek widać poniżej:


2 stopnie swobody, pręt podczepiony na przegubie, równia nieruchoma, brak tarcia, środek masy pręta w połowie długości, zakładamy małe drgania (mimo tego przy energii potencjalnej nie zamieniam sinusa kąta na kąt). Nie mam pewności co do rozpisania ruchu płaskiego jakim porusza się pręt.

przemieszczenie klocka wzdłuż równi oznaczyłem \(\displaystyle{ x}\), jest to jednocześnie wydłużenie sprężyny, kąt obrotu pręta oznaczyłem jako \(\displaystyle{ \varphi}\).


Energię potencjalną opisałem następująco:
(poziom 0 przyjmuję w punkcie zaczepienia pręta), poszczególne człony:
od sprężyny: \(\displaystyle{ \frac{k x^{2} }{2}}\)
od przemieszczenia się klocka: \(\displaystyle{ -Mgx\sin(\alpha)}\)
od przemieszczenia się środka ciężkości pręta \(\displaystyle{ -mg ( -\frac{l}{2} - xsin(\alpha) + \frac{l}{2}cos(\alpha))}\)

W rezultacie: \(\displaystyle{ E_{p}=\frac{k x^{2} }{2} -Mgx\sin(\alpha)-mg ( -\frac{l}{2} - xsin(\alpha) + \frac{l}{2}cos(\alpha))}\)

Energia kinetyczna, poszczególne człony:
klocek: \(\displaystyle{ \frac{M\dot{x}^{2}}{2}}\)
pręt:\(\displaystyle{ \frac{I \dot{\varphi}^{2}}{2} + \frac{m V_{c}^{2}}{2}}\)

domyślam się, że \(\displaystyle{ V_{c}}\), czyli prędkość środka masy pręta będzie złożeniem wektorowym prędkości klocka i prędkości liniowej pręta w środku jego masy. Należałoby chyba skorzystać z tw. kosinusów, ale nie wiem jak kąty oznaczyć.

A może jeszcze inaczej? Macie jakiś pomysł?
Oczywiście dotychczasowe rozwiązanie też może mieć błędy.
Gdybyście mieli gdzieś coś podobnego w jakimś zbiorze to też prosiłbym o jakiś skan/zdjęcie.

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równania Lagrange'a II - klocek, pręt, równia, sprężyna

Post autor: ares41 » 18 wrz 2012, o 16:50

To co mi się rzuciło w oczy to brak jednoznacznie określonego układu odniesienia.
Każdy z rozpatrywanych punktów ma dwie współrzędne. Jeśli w jakimś układzie odniesienia zmieniają się obie współrzędne, to ten punkt ma niezerowe prędkości względem obu osi układu, a to oznacza, że jego całkowita energia kinetyczna jest sumą energii dla jednej osi i energii rozpatrywanej dla drugiej z osi.
Porównaj z 306270.htm

rekram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 18 cze 2012, o 01:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równania Lagrange'a II - klocek, pręt, równia, sprężyna

Post autor: rekram » 18 wrz 2012, o 19:13

chyba najlepiej w ścianie przyjąć, tu gdzie sprężyna. Przyszło mi też do głowy, tzn. zasugerowałem się innym przypadkiem, aby prędkość środka pręta zrobić z sumy kwadratów pochodnych położeń?

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równania Lagrange'a II - klocek, pręt, równia, sprężyna

Post autor: ares41 » 18 wrz 2012, o 20:22

rekram pisze:chyba najlepiej w ścianie przyjąć, tu gdzie sprężyna.
Najlepiej będzie jak zaznaczysz to na rysunku, bo z tego co napisałeś tutaj mogę sobie wyobrazić kilka różnych układów i nie wiem, o który Ci chodzi.
rekram pisze:Przyszło mi też do głowy, tzn. zasugerowałem się innym przypadkiem, aby prędkość środka pręta zrobić z sumy kwadratów pochodnych położeń?
Czyli dokładnie to co napisałem wyżej. \(\displaystyle{ T= \frac{1}{2}m \left( \stackrel{. }{x }^2+\stackrel{.}{y }^2 \right)}\)

rekram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 18 cze 2012, o 01:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równania Lagrange'a II - klocek, pręt, równia, sprężyna

Post autor: rekram » 18 wrz 2012, o 21:36


i byłby obrócony o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
tylko teraz nie wiem gdzie zaczepić ten kąt \(\displaystyle{ \varphi}\)

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równania Lagrange'a II - klocek, pręt, równia, sprężyna

Post autor: ares41 » 18 wrz 2012, o 21:41

Wydaje mi się, że ten kąt może zostać tak jak był ( nie liczyłem całości i nie wiem czy w takiej sytuacji wyjdą zjadliwe równania ), tylko współrzędne środka musisz teraz opisać w prowadzonym przez Ciebie układzie. Warto byłoby zmienić także oznaczenie stopnia swobody, bo wprowadzając układ współrzędnych przez \(\displaystyle{ x}\) będziemy rozumieć współrzędną punktu - będziemy mieli kolizję oznaczeń.

rekram
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 18 cze 2012, o 01:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań

Równania Lagrange'a II - klocek, pręt, równia, sprężyna

Post autor: rekram » 18 wrz 2012, o 22:57

też przydałby mi się jakiś mały rysunek

dalej nie wiem jak te współrzędne zapisać, może ktoś rzuci jakiś pomysł?
jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) przekroczy wartość \(\displaystyle{ \alpha}\) to będę musiał odjąć rzut punktu od współrzędnej \(\displaystyle{ x}\) a jak nie przekroczy, to dodać tak?

edit: w sumie to zakładamy małe drgania, więc \(\displaystyle{ \varphi < \alpha}\)

ODPOWIEDZ