Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \left(A _{n}\right) ^{ \infty } _{n=1}}\) będzie ciągiem zdarzeń parami rozłącznych, takich że \(\displaystyle{ \Omega = \bigcup_{n=1}^{ \infty } A_n}\) i \(\displaystyle{ P\left(A _{k+1}\right) = P\left(A _{k}\right) \cdot \frac{3}{4}}\)
Oblicz \(\displaystyle{ P(A _{1} )}\).

Doszłam do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ P(A _{1} ) \cdot \sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{3}{4}\right) ^{n}}\)
Nie wiem, co z tym dalej zrobić. Proszę o wskazówki.

P.S. Wiem, że temat nie dotyczy analizy tylko prawdopodobieństwa, ale czy mógłby ktoś rozpisać, jak policzyć sumę powyższego szeregu. Czy to się równa \(\displaystyle{ a \frac{1}{1- \frac{3}{4} }}\)?

jellyelli pisze: Doszłam do czegoś takiego:

\(\displaystyle{ P(A _{1} ) \cdot \sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{3}{4}\right) ^{n}}\)

Jeśli to ma być \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)}\), to powinno być \(\displaystyle{ P(A _{1} ) \cdot \sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{3}{4}\right) ^{n-1}}\)

jellyelli pisze: Nie wiem, co z tym dalej zrobić.

Jeśli zdarzenia są parami rozłączne, to suma szeregu jest równa prawdopodobieństwu sumy zdarzeń, czyli ...

jellyelli pisze: jak policzyć sumę powyższego szeregu. Czy to się równa \(\displaystyle{ a \frac{1}{1- \frac{3}{4} }}\)?

Jeśli \(\displaystyle{ a=P(A_1)}\), to jest to suma tego szeregu, który ja napisałem, z wykładnikiem \(\displaystyle{ n-1}\).

Rozumiem.
Policzyłam sumę szeregu. Czy mogę założyć, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)} = 1}\)? Wtedy \(\displaystyle{ P(A _{1}) = \frac{3}{16}}\).

jellyelli pisze:Czy mogę założyć, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)} = 1}\)?

"Założyć" nie jest tu odpowiednim słowem. To wynika z treści zadania i z własności prawdopodobieństwa. Nie jest to założenie.

Bardzo dziękuję. Teraz już rozumiem zadania tego typu!