Urodził się (z nieprawego łoża -mama Chiara Micheri) 24 września w 1501 roku w Lombardi w mieście Pavia (północne Włochy); jego tata Fazio (Bonifacy) był znanym lekarzem. Fazio interesował się też naukami ścisłymi. Do dwudziestego roku życia kształcił się pod okiem taty, po czym rozpoczął studia medyczne na uniwersytecie w Pavii, a potem Padwy; i na tej uczelni ukończył je uzyskując w 1524 roku tytuł doktora medycyny.
Od roku 1534 wykładał medycynę i matematykę na uniwersytecie w Mediolanie. Jako lekarz wsławił się nowatorskim podejściem w leczeniu chorób zakaźnych. W 1552 roku Cardano odbył podróż do Anglii gdzie wyleczył z ciężkiej astmy arcybiskupa Szkocji Johna Hamiltona.
W 1524 roku napisał Liber de Ludo Aleae (Księga o grach losowych) ;niektóre źródła podają 1526 rok; dzieło to zostało opublikowane dopiero w 1663 roku, zawiera matematyczne podstawy teorii prawdopodobieństwa; i to wiek wcześniej zanim takie zagadnienia rozważali Pascal i Fermat ! Cardano był bowiem nałogowym hazardzistą (grywał na pieniądze m. in. w szachy oraz kości), a z wygranych jakie uzyskiwał opłacał swoje studia medyczne…
Napisał wiele dzieł z różnych dziedzin, w tym dużo z zakresu medycyny, ale nie tylko- jego zainteresowania były niezwykle rozległe: De immortalitate (alchemia), De Musica (teoria muzyki), De subtilitate rerum - O prostocie rzeczy itd. Łącznie był autorem około kilkuset prac; ale nie wszystkie z nich zachowały się do dziś. Jednak najważniejszą była wydana w 1545 roku Ars Magna dzieło to w dużej mierze zaważyło na dalszych jego losach (o czym poniżej).
Jako wynalazca napisał prace z zakresu teorii dźwigni i wag, w mechanice znany jest tzw. przegub Cardana (wynalazek ten został z powodzeniem wypróbowany w karocy cesarza Karola V). Cardano wynalazł też zamek szyfrowy; w kryptografii istnieje metoda tzw. (Kratka Cardano ). Zaprojektował też zabawkę zwaną pierścienie Cardana (matematyka rekreacyjna); mimo iż znaną wcześniej. Budował też i inne urządzenia oraz przeprowadzał eksperymenty fizyczne. Zajmował się astrologią i stawiał horoskopy znanym ludziom.
Życie prywatne Cardano było raczej smutne i tragiczne. W 1546 roku zmarła jego żona. W roku 1560 został skazany na śmierć - za otrucie żony -(i stracony) 26 letni syn Cardana Giovanni. Drugi syn Aldo, który jak się wydaje, zamieszany był także w to morderstwo, okazał się jeszcze większym niegodziwcem gdyż bez skrupułów zadenuncjował brata i ojca przed trybunałem inkwizycji (Cardano miał jeszcze córkę, która zmarła w młodym wieku). Tak doszło do owej „odrażającej afery”: Gerolamo został posądzony o herezję i aresztowany w 1570 roku. Mimo to uwolnił się w końcu ze stawianych mu zarzutów i wyszedł na wolność. Krótko przed śmiercią napisał swą autobiografie De proprie vita. Zmarł w nędzy 20 września 1576 r. w Rzymie.
(Rysunek prawy). Gerolamo Cardano (1501- 1576) ; Jeden z największych umysłów epoki Renesansu; odkrył rachunek prawdopodobieństwa i liczby zespolone - dwa podstawowe elementy nowoczesnej teorii kwantów.
(Rysunek lewy) tytułowa strona dzieła Cardana. Oryginalny tytuł: Artis Magnæ, Sive de Regulis Algebraicis Liber Unus , tj. Wielka sztuka czyli o prawidłach algebry.
Cardano a Tartaglia (źródło: *)
Z publikacją rozwiązania tego problemu wiąże się nieprzyjemna historia. W 1539 roku nauczyciel matematyki znany jako Nicolo „Tartaglia” znał już ogólne rozwiązanie szerokiej klasy równań trzeciego stopnia. Cardano posłał do niego przyjaciela, by ten dowiedział się, jak wygląda rozwiązanie. Tartaglia odmówił jednak ujawnienia tajemnicy, więc Cardano zabrał się sam do pracy i wkrótce znalazł rozwiązanie, które opublikował w 1540 roku.
Cardano zdołał nawet rozszerzyć wyniki Tartaglii, podając rozwiązanie dla wszystkich możliwych przypadków. Później, w książce Ars Magna, przedstawił on analizę ogólnej metody rozwiązywania równania stopnia trzeciego. W obu książkach Cardano przyznawał, że Tartaglia wcześniej znalazł rozwiązanie dla niektórych przypadków, ale popełnił błąd, stwierdzając w książce Ars Magna, że Tartaglia pozwolił mu na opublikowanie rozwiązania. Tartaglia był wściekły; twierdził, że pewnego dnia odwiedził Cardana i zdradził mu tajemnicę, pod warunkiem że ten przysięgnie, iż nikomu nie ujawni sekretu. W każdym razie Cardanowi byłoby trudno opublikować swoje wyniki, wykraczające poza to, co zrobił Tartaglia, nie ujawniając wcześniejszych rozwiązań poszczególnych przypadków, a zatem nie widać, jak mógłby postąpić inaczej, jeżeli nie chciał zrezygnować z publikacji swoich odkryć. Mimo to Tartaglia do końca życia mu nie wybaczył i czekał na stosowną okazję, żeby się zemścić. Wreszcie w 1570 roku, gdy wskutek odrażającej afery dobre imię Cardana zostało poważnie splamione, Tartaglia zadał mu cios, który spowodował jego ostateczny upadek. Tartaglia ściśle współpracował z inkwizycją, zbierając materiały obciążające rywala, a później spowodował jego aresztowanie i uwięzienie. Cardano został zwolniony dopiero dzięki interwencji specjalnego emisariusza arcybiskupa Szkocji, (którego, jak pamiętamy, Cardano wyleczył z astmy), który przybył do Rzymu w 1571 roku, by się za nim wstawić.
[…]
Ponadto gdy chodzi o sprawę pierwszeństwa, wydaje się, że należy je przyznać jeszcze innemu uczonemu - jest nim Scipione del Ferro, który do śmierci w 1526 roku był profesorem uniwersytetu w Bolonii. W każdym razie del Ferro znał rozwiązanie, które ponownie odkrył Tartaglia, choć pozostaje niejasne, w jakiej mierze zdawał on sobie sprawę, że rozwiązanie to można tak zmodyfikować, aby wziąć pod uwagę przypadki rozważane przez Cardana. Nie ma też żadnych dowodów, by del Ferro zastanawiał się nad wprowadzeniem liczb urojonych.
Cardano a Bombelli
gdy \(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\) to \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}- \sqrt{(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2 }} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+ \sqrt{(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2 }}}\)
Jest to jedno z rozwiązań (tzw. wzór Cardano). Formuła \(\displaystyle{ y^3+py+q=0}\) jest to tzw. postać kanoniczna równania trzeciego stopnia, i można do niej sprowadzić dowolne równanie \(\displaystyle{ x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0}\) kładąc \(\displaystyle{ y=x- \frac{a_2}{3}}\).
Z ujęcia geometrycznego rozwiązanie równania kanonicznego będzie odpowiadać znalezieniu punktu (bądź punktów) przecięcia wykresów funkcji \(\displaystyle{ y=x^3}\) i \(\displaystyle{ y=-px-q}\).
Jeśli wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta = (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3}\) jest dodatni, to równanie takie ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone sprzężone. Jeśli \(\displaystyle{ \Delta}\) jest ujemny to istnieją trzy pierwiastki rzeczywiste, ale rozwiązanie algebraiczne jest praktycznie niewygodne, gdyż wymaga operacji pierwiastkowania liczb zespolonych; tzw. casus irreducibilis tj. przypadek nieprzywiedlny, który szczegółowo analizował Rafael Bombelli (Algebra) w 1572 roku.
Trzy pierwiastki rzeczywiste uzyskuje się ze wzoru:
\(\displaystyle{ x_k= 2 \sqrt{-\frac{p}{3}}cos(\frac{\phi +2k\pi}{3})}\) dla \(\displaystyle{ k=0, 1, 2}\) oraz \(\displaystyle{ cos(\phi)= \frac{3q}{2p\sqrt{-\frac{p}{3}}}}\), \(\displaystyle{ 0 \leq \phi \leq \pi}\); (\(\displaystyle{ p<0}\) gdyż \(\displaystyle{ \Delta<0}\))
Bombelli traktuje liczby zespolone jako „kombinacje liniowe” o współczynnikach dodatnich czterech elementów podstawowych: „piu” \(\displaystyle{ (+1)}\), „meno” \(\displaystyle{ (-1)}\), „piu de meno” \(\displaystyle{ (+i)}\) i „meno de meno” \(\displaystyle{ (-i)}\); jako aksjomat przyjmuje, że „piu” i „piu de meno” nie dodaje się, i tu po raz pierwszy pojawia się pojęcie niezależności liniowej (źródło: ***)
np.
Ma ono trzy pierwiastki rzeczywiste: jeden całkowity \(\displaystyle{ x=2}\) oraz dwa niewymierne tj. \(\displaystyle{ -1 \pm \sqrt{3}}\); zaś podstawienie do wzoru daje \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{-2 - \sqrt{-4}} + \sqrt[3]{-2+ \sqrt{-4}}}\). Ponieważ jednakRozwiązać równanie \(\displaystyle{ x^3-6x+ 4=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (1-i) ^3= -2-2i\\(1+i)^3=-2 +2i\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ i =\sqrt{-1}}\)
więc można “zwinąć” ten zapis: \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{ (1-i) ^3} + \sqrt[3]{ (1+i) ^3} =(1-i) + (1+i) = 2}\)
Równanie to można próbować też rozwiązać graficznie, tj. sporządzając wykres funkcji \(\displaystyle{ y= x^3-6x+ 4}\) i szukając jej miejsc zerowych.
W Ars Magna Cardano rozważa przykład:
Chodzi więc o rozwiązaniu układu:Znaleźć dwie liczby, których suma jest równa \(\displaystyle{ 10}\) zaś iloczyn \(\displaystyle{ 40}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y= 10\\xy=40\end{cases}}\)
bądź też - w interpretacji geometrycznej znalezienia punktu przecięcia się krzywych (prostej i hiperboli). Jednak krzywe te nie przecinają się wcale, co oznacza, że rozwiązań (w liczbach rzeczywistych) nie ma. Jednakże Cardano podaje rozwiązania zespolone:
\(\displaystyle{ 5 + \sqrt{-15}}\) ; \(\displaystyle{ 5 - \sqrt{-15}}\)
Nie był on zbytnio zadowolony z takich rozwiązań i pisał o “męczarniach umysłowych” jakich w związku z tym doświadczał. Jednak to właśnie równania sześcienne „zmusiły” go do używania liczb zespolonych. Warto tu zwrócić uwagę na subtelną różnicę: o ile bowiem podany powyżej układ równań nie ma rozwiązań rzeczywistych, zaś znalezione przez Cardano rozwiązania zespolone można niejako traktować jako „abstrakcyjne i nierealne” twory, to w przypadku równania trzeciego stopnia, w którym \(\displaystyle{ \Delta<0}\) (tj. są trzy pierwiastki) podstawienie do wzoru daje także taki „twór”, a jednak tak naprawdę wyraża on liczbę rzeczywistą. Według słów jakich użył Roger Penrose: „to wymaga podróży przez tajemniczą krainę liczb zespolonych, choć ostatecznie wracamy do krainy liczb rzeczywistych”.
Ferrari a Tartaglia
Rozliczne konkursy (mecze matematyczne) , w których uczestnicy mieli możliwość udowodnienia swej sprawności rachunkowej, były w owych czasach dość popularne. Jeden z takich głośnych pojedynków miał miejsce w 1535 roku i wzięli w nim udział Antonio Fior oraz Niccolò Tartaglia (istnieją źródła według których Scipione del Ferro przed śmiercią przekazał tajemnicę rozwiązywania równań sześciennych swemu zięciu Hannibalowi Nave oraz uczniowi Antonio Fior). Mecz polegał na tym, iż każda ze stron zadała drugiej po 30 zadań do rozwiązania. Tartaglia bez większych trudności ten pojedynek wygrał.
W 1548 roku w Mediolanie doszło do innej debaty, tj. między Ferrarim a Tartaglią. Lodovico Ferrari był pomocnikem a potem uczniem i współpracownikiem Cardana. Nieformalnie wygrał ją Ferrari, który posiadał już wtedy większe rozumienie teorii równań trzeciego i czwartego stopnia niż jego rywal. Do publicznego spotkania między Tartaglią a samym Cardano nigdy nie doszło. Niccolò Tartaglia zmarł w 1557 roku, a więc w dwanaście lat po wydaniu przez Cardana Artis Magnæ .
Ferrari podał metodę rozwiązywania równań czwartego stopnia (tj. \(\displaystyle{ x^4+px^3+ qx^2 +rx+s=0}\)), i została ona opublikowana przez Cardana w Artis Magnæ : sprowadza się do rozwiązania dwóch równań kwadratowych:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(\frac{p}{2}+a)x+ k+b=0\\ x^2+(\frac{p}{2}-a)x+ k-b =0\end{cases}}\)
przy czym \(\displaystyle{ k}\) jest jednym z rozwiązań równania stopnia trzeciego:
\(\displaystyle{ k^3- \frac{1}{2}qk^2 + \frac{1}{4}(pr-4s)k +\frac{1}{8}(4qs-p^2s-r^2)=0}\),
gdzie \(\displaystyle{ a=\sqrt{2k + (\frac{p}{2})^2 - q}}\) zaś \(\displaystyle{ b=\frac{kp-r}{2a}}\)
np.
Równanie z niewiadomą \(\displaystyle{ k}\): \(\displaystyle{ \ k^3-5k^2+6k-2=0}\) , stąd np. \(\displaystyle{ k=1}\) a więc \(\displaystyle{ a= 1 \ b=-2}\); co prowadzi do równań kwadratowych, których pierwiastki to:Rozwiązać równanie
\(\displaystyle{ x^4-6x^3 +10x^2-2x-3}\)
\(\displaystyle{ x_1 = 1- \sqrt{2} \ x_2 = 1+\sqrt{2} \ x_3= 1 \ x_4 = 3}\)
Osobowość Cardano (źródło: **)
Z tej samej autobiografii dowiadujemy się, że Cardano był "dość wybuchowy, nastawiony na wyznaczony cel oraz oddany kobietom,... także przebiegły, podstępny, sarkastyczny, sumienny, bezczelny, smutny i zdradliwy, nieszczęśliwy, nienawistny, sprośny, nieprzyzwoity, kłamliwy, służalczy, i ... lubiący bajdurzenie starych ludzi".
W rozdziale poświęconym "postawie i wyglądowi" dowiadujemy się że był mężczyzną średniej wielkości z wąską klatką piersiową, długą szyją jak i niezwykle chudymi ramionami. Jego oczy były bardzo małe i na wpół zamknięte jak i posiadał blond włosy. Miał piskliwy i przeszywający głos oraz cierpiał na bezsenność.
Geniusz i intuicja Cardano (źródło: *)
Wydaje się, że nikt przed Cardano nie dostrzegł tego tajemniczego świata i jego związków z rzeczywistością. (Inni, tacy jak Heron i Diofantos z Aleksandrii, matematycy i I i III wieku, rozważali ideę, że istnieją pierwiastki z liczb ujemnych, ale żaden się nie odważył, by połączyć takie liczby z liczbami rzeczywistymi, i wprowadzić liczby zespolone; nie zwrócili oni również uwagi na związek takich liczb z rzeczywistymi rozwiązaniami równań). Być może to dziwna osobowość Cardana - po części racjonalna, po części mistyczna - pozwoliła mu dostrzec pierwsze zarysy pojęcia, które w przyszłości stało się jednym z najpotężniejszych narzędzi matematycznych. Dzięki takim matematykom jak Bombelli, Coates, Euler, Wessel, Argand, Gauss, Cauchy, Weierstrass, Riemann, Levi, Lewy i wielu innych, teoria liczb zespolonych stała się jedną z najbardziej eleganckich i uniwersalnych struktur matematycznych. Jednak dopiero po sformułowaniu mechaniki kwantowej, w pierwszej ćwierci XX wieku, uczeni odkryli, jak dziwną i ważną rolę odgrywają liczby zespolone w fundamentalnej strukturze świata, w którym żyjemy. Również dopiero wtedy poznaliśmy ich związek z p r a w d o p o d o b i e ń s t w e m. Nawet Cardano nie mógł przewidzieć tajemniczego związku między dwoma pojęciami, których sformułowanie było jego największym wkładem w rozwój matematyki - związku, który stanowi podstawę materialnego świata w najmniejszej skali.
Materiały (Źródła)
Roger Penrose - Cienie umysłu *
Włodzimierz Krysicki - Poczet wielkich matematyków
Stefan Kulczycki - Opowieści z dziejów liczb
A. P. Juszkiewicz - Historia matematyki
Witold Więsław - Matematyka i jej historia
... Ferro.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk ... ardan.html
http://www.chlt.org/sandbox/lhl/dsb/page.64.php
http://www.arturekert.org/Site/Varia_fi ... ardano.pdf
(Artur Eckert - COMPLEX AND UNPREDICTABLE CARDANO) **
Nicolas Bourbaki - Elementy historii matematyki ***
A. Empacher, Z. Sęp, A. Żakowska, W. Żakowski - Mały słownik matematyczny
http://www.wykop.pl/ramka/702197/zaloze ... o-cardano/
122194.htm (Cardano vs Vieta)