Strona 1 z 1
Całka krzywoliniowa
: 13 wrz 2012, o 00:39
autor: Czingisham
Sprawdzic potencjalnosc całkowanego pola wektorowego i obliczyć całkę
krzywoliniową
\(\displaystyle{ \int_{2,1,3}^{1,-1,2}x \mbox{d}x +y^{2} \mbox{d}y+z \mbox{d}z}\)
Mógłby mi ktoś powiedzieć jak się robi tego typu zadania ?
Całka krzywoliniowa
: 13 wrz 2012, o 08:30
autor: szw1710
Najpierw wyznacz rotację pola wektorowego \(\displaystyle{ \vec{F}(x,y,z)=[x,y^2,z].}\) Zobacz czy jest równa zeru. TO podstawa. Czekam, na razie pracuję na komputerze.
Całka krzywoliniowa
: 13 wrz 2012, o 09:00
autor: Czingisham
Równa się zeru, czyli ma potencjał.
Całka krzywoliniowa
: 13 wrz 2012, o 09:02
autor: szw1710
Czy umiałbyś go wyznaczyć? Przypomnij sobie warunki, które definiują potencjał. Jeśli masz kłopot, pomogę, ale spróbuj sam. Jak widzisz, zadanie robimy etapami
Całka krzywoliniowa
: 13 wrz 2012, o 09:20
autor: Czingisham
\(\displaystyle{ \frac{ \partial U }{ \partial x}=x \ \frac{ \partial U}{ \partial y}=y^{2} \ \frac{ \partial U }{ \partial z}=z \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+ \phi(y,z) \\ \frac{ \partial U}{ \partial y}= \phi(y,z) \Rightarrow \phi(y,z)=y^{2} \\ U=\frac{1}{2} x^{2}+y^{2}}\)
Chyba w porządku ?
Całka krzywoliniowa
: 13 wrz 2012, o 09:26
autor: szw1710
Nie. W trzeciej linii zapominasz o zróżniczkowaniu \(\displaystyle{ \phi}\) względem \(\displaystyle{ y.}\) Popraw się.
Wracam po kawie.
Całka krzywoliniowa
: 13 wrz 2012, o 09:54
autor: Czingisham
\(\displaystyle{ \frac{ \partial U}{ \partial y}= \frac{ \partial \phi(y,z) }{ \partial y} \\
\phi(y,z)=y^{2} + \psi(z) \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} + \psi(z) \\ \frac{ \partial U}{ \partial z}= \frac{ \partial \psi(z)}{ \partial z} \\ \psi(z)=\frac{1}{2}z ^{2}+C \\ U= \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} + \frac{1}{2} z^{2}+C}\)
Całka krzywoliniowa
: 13 wrz 2012, o 10:01
autor: szw1710
Tak. Szukamy jednego z potencjałów, więc można przyjąć \(\displaystyle{ C=0.}\) A teraz robimy coś podobnego do wzoru Newtona-Leibniza. Nasza całka ma wartość \(\displaystyle{ U(B)-U(A),}\) gdzie \(\displaystyle{ A}\) - punkt początkowy, \(\displaystyle{ B}\) - punkt końcowy. Nie pamiętam, ale chyba Krysicki pokazuje tę metodę.
Można zadanie zrobić inaczej, bardziej okrężnie. Potencjalność pola jest też warunkiem niezależności całki od drogi całkowania. Więc piszesz sobie równanie najprostszej linii łączącej dane punkty, czyli odcinka i całkujesz po nim. Całka po odcinku jest równa całce po każdej innej krzywej (gładkiej oczywiście). Zrób zadanie także i tą metodą i zobacz czy Ci wyjdzie to samo
Wolę metodę potencjałową.