Matematyka.pl

Proszę o zweryfikowanie mojego myślenia w kilku zadaniach

1) Znaleźc promień szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 3^{n+1} z^{2n} }{n 4^{n} }}\)

Zapisuje sobie to w takiej postaci

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 3^{n+1} \left(z^{2} \right) ^{n} }{n 4^{n} }}\)

Liczę
\(\displaystyle{ r= \lim_{ n\to \infty }\frac{ c_{n} }{ c_{n+1} }}\)
\(\displaystyle{ r= \frac{4}{3}}\)

Więc dalej rozpisuje

\(\displaystyle{ \left| z^{2}\right| < \frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| < \frac{2}{ \sqrt{3} }}\)

\(\displaystyle{ R= \frac{2\sqrt{3}}{3 }}\)

Więcpozostaje sprawdzić końce przedziałów

Dla obu przypadków i\(\displaystyle{ +R - R}\)

z D'Alamberta limes wychodzi \(\displaystyle{ \frac{3}{4}<1}\)

czyli ostatecznie\(\displaystyle{ \left\langle -R,R \right\rangle}\)

Promień policzyłeś poprawnie, ale na końcach przedziałów popełniłeś gafę.
Jeśli \(\displaystyle{ z= \frac{2 \sqrt{3} }{3}}\), to nasz szereg przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{3^{n} \cdot 3 \cdot 4^{n}}{n \cdot 3^{n} \cdot 4^{n}} = \sum_{n=1}^{+ \infty } \frac{3}{n}}\)
A ten szereg jest rozbieżny. Masz gdzieś błąd w rachunkach z tym kryterium d'Alemberta.

pewnie dlatego że tak naprawdę rozszerzyłem sobie zadanie Bo w treści było tylko podać promień już sprawdzam rachunki

czyli ostatecznie\(\displaystyle{ \left( -R,R\right)}\)

Dokładnie tak.

A to nie jest szereg o argumentach zespolonych? W takim wypadku, jeśli poza promieniem zbieżności chcesz znaleźć pełny obszar zbieżności, to musisz sprawdzić zbieżność na krańcu koła, czyli na całym okręgu \(\displaystyle{ |z|=R.}\)