równanie różniczkowe
: 12 wrz 2012, o 11:22
proszę rozwiązać : \(\displaystyle{ y'-3y-x \cdot e^{2x}= 0}\)
Matematyka.pl
równanie różniczkowe
Strona 1 z 1
równanie różniczkowe
: 12 wrz 2012, o 11:23
zacznij od jednorodnego
równanie różniczkowe
: 12 wrz 2012, o 11:36
nic mi to nie mówi
równanie różniczkowe
: 12 wrz 2012, o 11:37
Wujek google i zacznie mówic
równanie różniczkowe
: 12 wrz 2012, o 15:56
Ułatwię Ci sprawę i wytłumaczę o co chodzi, służę pomocą 
Najpierw przerzucamy wyrażenie z x na drugą stronę. Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y' - 3y = x \cdot e^{2x}}\)
Na początku obliczamy \(\displaystyle{ y_1}\) z równania jednorodnego. Równanie jednorodne równa się zero. Rozwiązujesz więc:
\(\displaystyle{ y'-3y = 0}\) całkowicie olewając co stało po stronie prawej. Po prawej stronie ma stać 0. Dla ułatwienia możesz y' zastąpić r, a wartość przy y pozostaje wyrażeniem wolnym co daje nam: (gdybyś miał np równanie wyższego rzędu i y'' to zastąpiłbyś to \(\displaystyle{ r^2}\) i rozwiązał normalne równanie kwadratowe)
\(\displaystyle{ r-3=0}\), zatem r=3,
Podstawiamy r do wzoru:
\(\displaystyle{ y_1 = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}}\)
Otrzymujemy:
1. \(\displaystyle{ y_1= C_1e^{3x}}\) (bo mamy tylko jeden pierwiastek = 3)
Zawsze rozwiązując podobny przykład musisz najpierw rozwiązać takie rówanie jednorodne jak powyżej.
Pierwsza część zadania za nami.
Teraz zamiast stałej \(\displaystyle{ C_1}\) w równaniu, które oznaczyłam 1. piszemy u(x) i liczymy pochodną po dx:
2. \(\displaystyle{ y= u(x)e^{3x}}\)
3. \(\displaystyle{ y'(x)=u'(x)e^{3x}+u(x)3e^{3x}}\)
Nie wiem które wyrażenia bardziej Ci pasują ale pamiętaj, że pochodną y po x zapisujemy zarówno \(\displaystyle{ y'(x)}\) jak i \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\)
Teraz wracamy do naszego równania początkowego:
\(\displaystyle{ y'-3y=xe^{2x}}\)
I zamiast \(\displaystyle{ y'}\) podstawiamy nasze rówanie oznaczone 3., a zamiast y podstawiamy równanie, które oznaczyłam 2:
\(\displaystyle{ u'(x)e^{3x}+u(x)3e^{3x}-3\cdot (u(x)e^{3x})=xe^{2x}}\)
\(\displaystyle{ u'(x)e^{3x}+3u(x)e^{3x}-3u(x)e^{3x}=xe^{2x}}\) |człony drugi i trzeci się nam skracają i pozostaje tylko:
\(\displaystyle{ u'(x)e^{3x} = xe^{2x}}\)
Teraz dążymy do obliczenia \(\displaystyle{ u'(x)}\) (jakby co u'(x) to jest to samo co \(\displaystyle{ \frac{du}{dx}}\)),
zatem: dzielimy przez \(\displaystyle{ e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ u'(x) = x \cdot \frac{e^{2x}}{e^{3x}}}\)
\(\displaystyle{ u'(x) = x \cdot e^{-x}}\)
Aby wyliczyć z tego u(x), po prostu całkujemy prawą stronę:
\(\displaystyle{ u(x) = \int xe^{-x} dx}\)
Całkę rozwiązujemy metodą podstawienia, co daje nam wynik:
\(\displaystyle{ u(x)= -xe^{-x}-e^{-x} + C}\)
\(\displaystyle{ u(x) = -e^{-x}(x+1) + C}\)
Wracamy do równania, które oznaczyłam 2. Podstawiamy za u(x) nasze rozwiązanie, i będzie to \(\displaystyle{ y_2}\)
\(\displaystyle{ y_2 = (-e^{-x}(x+1))\cdot (e^{3x})}\)
\(\displaystyle{ y_2 = -e^{2x}(x+1)}\)
Rozwiązaniem całkowitym jest \(\displaystyle{ y}\).
\(\displaystyle{ y = y_1 + y_2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ y = C_1e^{3x} -e^{2x}(x+1)}\)
Mam nadzieję, że moje rozwiązanie trochę ułatwiło Ci rozwiązywanie przykładu. W razie niejasności pisz, chętnie pomogę !
Pozdrawiam!
Najpierw przerzucamy wyrażenie z x na drugą stronę. Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ y' - 3y = x \cdot e^{2x}}\)
Na początku obliczamy \(\displaystyle{ y_1}\) z równania jednorodnego. Równanie jednorodne równa się zero. Rozwiązujesz więc:
\(\displaystyle{ y'-3y = 0}\) całkowicie olewając co stało po stronie prawej. Po prawej stronie ma stać 0. Dla ułatwienia możesz y' zastąpić r, a wartość przy y pozostaje wyrażeniem wolnym co daje nam: (gdybyś miał np równanie wyższego rzędu i y'' to zastąpiłbyś to \(\displaystyle{ r^2}\) i rozwiązał normalne równanie kwadratowe)
\(\displaystyle{ r-3=0}\), zatem r=3,
Podstawiamy r do wzoru:
\(\displaystyle{ y_1 = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}}\)
Otrzymujemy:
1. \(\displaystyle{ y_1= C_1e^{3x}}\) (bo mamy tylko jeden pierwiastek = 3)
Zawsze rozwiązując podobny przykład musisz najpierw rozwiązać takie rówanie jednorodne jak powyżej.
Pierwsza część zadania za nami.
Teraz zamiast stałej \(\displaystyle{ C_1}\) w równaniu, które oznaczyłam 1. piszemy u(x) i liczymy pochodną po dx:
2. \(\displaystyle{ y= u(x)e^{3x}}\)
3. \(\displaystyle{ y'(x)=u'(x)e^{3x}+u(x)3e^{3x}}\)
Nie wiem które wyrażenia bardziej Ci pasują ale pamiętaj, że pochodną y po x zapisujemy zarówno \(\displaystyle{ y'(x)}\) jak i \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\)
Teraz wracamy do naszego równania początkowego:
\(\displaystyle{ y'-3y=xe^{2x}}\)
I zamiast \(\displaystyle{ y'}\) podstawiamy nasze rówanie oznaczone 3., a zamiast y podstawiamy równanie, które oznaczyłam 2:
\(\displaystyle{ u'(x)e^{3x}+u(x)3e^{3x}-3\cdot (u(x)e^{3x})=xe^{2x}}\)
\(\displaystyle{ u'(x)e^{3x}+3u(x)e^{3x}-3u(x)e^{3x}=xe^{2x}}\) |człony drugi i trzeci się nam skracają i pozostaje tylko:
\(\displaystyle{ u'(x)e^{3x} = xe^{2x}}\)
Teraz dążymy do obliczenia \(\displaystyle{ u'(x)}\) (jakby co u'(x) to jest to samo co \(\displaystyle{ \frac{du}{dx}}\)),
zatem: dzielimy przez \(\displaystyle{ e^{3x}}\)
\(\displaystyle{ u'(x) = x \cdot \frac{e^{2x}}{e^{3x}}}\)
\(\displaystyle{ u'(x) = x \cdot e^{-x}}\)
Aby wyliczyć z tego u(x), po prostu całkujemy prawą stronę:
\(\displaystyle{ u(x) = \int xe^{-x} dx}\)
Całkę rozwiązujemy metodą podstawienia, co daje nam wynik:
\(\displaystyle{ u(x)= -xe^{-x}-e^{-x} + C}\)
\(\displaystyle{ u(x) = -e^{-x}(x+1) + C}\)
Wracamy do równania, które oznaczyłam 2. Podstawiamy za u(x) nasze rozwiązanie, i będzie to \(\displaystyle{ y_2}\)
\(\displaystyle{ y_2 = (-e^{-x}(x+1))\cdot (e^{3x})}\)
\(\displaystyle{ y_2 = -e^{2x}(x+1)}\)
Rozwiązaniem całkowitym jest \(\displaystyle{ y}\).
\(\displaystyle{ y = y_1 + y_2}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ y = C_1e^{3x} -e^{2x}(x+1)}\)
Mam nadzieję, że moje rozwiązanie trochę ułatwiło Ci rozwiązywanie przykładu. W razie niejasności pisz, chętnie pomogę !
Pozdrawiam!