Matematyka.pl

Witam, na wstępie chciałbym zaznaczyć że nie jestem pewien czy dobry dział, jednak funkcja jest w D liczb zespolonych, więc ten wydał mi się najodpowiedniejszy..

Oto zadanie:
Sprawdzić czy funkcja opisana równaniem \(\displaystyle{ f(z) = z- \overline{z} + \frac{ z^{2}-\overline{z} ^{2} }{2i }}\) jest funkcją holomorficzną na \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)?

Za pomoc w rozwiązaniu będę bardzo wdzięczny!

Pozdrawiam!

Podstawienie \(\displaystyle{ z=x+yi}\)

Następnie zapisz funkcję \(\displaystyle{ f(x+yi)}\) jako \(\displaystyle{ u(x,y)+iv(x,y)}\) i sprawdź równania Cauchy'ego - Riemanna oraz ciągłość odpowiednich pochodnych.

Ares41, wiem oczywiście jak to sie robi. Chodzi mi o to, aby ktoś ogarnięty to sprawdził, bo policzyłem to dziś na egzaminie i wyszło mi że nie jest (część urojona się skraca, V(x,y)=0, warunek Cauchego niespełniony), rozwiązały to także 3 inne osoby tak samo, a wynik egzaminu okazał się NZ. Dlatego zależy mi na tym, aby ktoś obcykany w temacie podał mi rozwiązanie żebym się upewnił. z góry dzięki!

pozdrawiam

Przy standardowych oznaczeniach wychodzi \(\displaystyle{ u(x,y)=2xy, \ v(x,y)=2y}\)

I dalej mamy \(\displaystyle{ \frac{ \partial v}{ \partial x} = 0 \neq -2x =-\frac{ \partial u}{ \partial y}}\)

\(\displaystyle{ z - \overline{z} = 2i\Im(z)}\)

\(\displaystyle{ \frac{z^2 - \overline{z}^2}{2i} = 2\cdot \Re(z) \cdot Im(z)}\)

\(\displaystyle{ f(z) = f(x,y) = \underbrace{2xy}_{u(x,y)} + \underbrace{ 2y }_{v(x,y)} \cdot i}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}}\) - sprawdź jedno z równań Cauchy'ego-Riemanna

sebnorth,
\(\displaystyle{ z - \overline{z} = 2i\Im(z)}\)

natomiast

\(\displaystyle{ \frac{z^2 - \overline{z}^2}{2i} = 2\cdot \Re(z) \cdot \Im(z)}\)

Hmm, trochę mnie zmartwiliście. ja zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ f(x,y)=(x+yi)(x-yi)+ \frac{ (x+yi)^{2} - (x-yi)^{2} }{2i} \\ \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{ x^{2}+2xyi- y^{2}-(x^{2}-2xyi+ y^{2} ) }{2i} \\ \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{4xyi}{2i} \\ \\
f(x,y)= x^{2}+ y^{2}+2xy}\)

Stąd mi wyszło, że:
\(\displaystyle{ U(x,y) =x^{2}+ y^{2}+2xy \\
V(x,y) = 0}\)

gdzie popełniłem błąd??

PS: W zadaniu jest \(\displaystyle{ f(z) = z \cdot \overline{z}}\)

Pozdrawiam

Na samym początku
\(\displaystyle{ z-\overline{z} = (x+yi)\color{red}-\black(x-yi)}\)

Edit: Jeśli jest jednak \(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}}\) to wtedy jest ok.

ares41 pisze:Na samym początku
\(\displaystyle{ z-\overline{z} = (x+yi)\color{red}-\black(x-yi)}\)

Ares, tutaj nie popełniłem, gdyż jak już napisałem przed chwilą, tam powinno być mnożenie Po prostu źle wklepałem zadanie

Pozdrawiam

ares41 pisze: Edit: Jeśli jest jednak \(\displaystyle{ z\cdot\overline{z}}\) to wtedy jest ok.

Hmm, czyli moje rozwiązanie jest dobre? Część urojona faktycznie się skraca i zostaje tylko częśc rzeczywista? Przepraszam, że tak dopytuję, ale w czwartek zamierzam iśc na rozmowę i chcę być pewien, jeśli mam rację, tak aby wywalczyć punkty niezbędne mi do zrobienia tytułu w terminie Ważą się losy mojego życia )

Pozdrawiam

Nie widzę błędu w obliczeniach. Rzeczywiście, nie ma tutaj części urojonej.

Być może punkty zostały utracone na uzasadnianiu wynikających stąd wniosków, tj. fakt że funkcja nie jest holomorficzna wynika tutaj z tautologii \(\displaystyle{ (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim q \Rightarrow \sim p)}\) zastosowanej do twierdzenia o zależności różniczkowalności w sensie rzeczywistym i sensie zespolonym.

Podejrzewam jednak, że autorowi zadania wkradła się literówka i tam powinien być ten minus zamiast mnożenia - to wbrew pozorom dosyć często się zdarza

Feliks1990 pisze: 11 wrz 2012, o 21:34 Hmm, trochę mnie zmartwiliście. ja zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ f(x,y)=(x+yi)(x-yi)+ \frac{ (x+yi)^{2} - (x-yi)^{2} }{2i} \\ \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{ x^{2}+2xyi- y^{2}-(x^{2}-2xyi+ y^{2} ) }{2i} \\ \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{4xyi}{2i} \\ \\
f(x,y)= x^{2}+ y^{2}+2xy}\)

Stąd mi wyszło, że:
\(\displaystyle{ U(x,y) =x^{2}+ y^{2}+2xy \\
V(x,y) = 0}\)

gdzie popełniłem błąd??

PS: W zadaniu jest \(\displaystyle{ f(z) = z \cdot \overline{z}}\)

Pozdrawiam

W przedostatniej równości funkcji jest błąd. Powinno wyjść:
\(\displaystyle{
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ \frac{4xyi-2y^{2}}{2i} \\
f(x,y) = x^{2}+ y^{2}+ 2xy + y^{2}i \\
}\)

Nie, błąd jest w drugiej linijce a trzecia jest znów dobrze (zapewne błąd przepisywania).

Matematyka.pl

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Re: Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna

Re: Sprawdź czy funkcja jest holomorficzna