Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.
Znajdź współrzędne punktu \(\displaystyle{ Q}\) symetrycznego do punktu \(\displaystyle{ P\left(-1,-4 \right)}\) względem prostej o równaniu \(\displaystyle{ 5x+4y-20=0}\)

1. Wyznacz odległość punktu od prostej,
2. Napisz równanie prostej, przez którą przechodzi punkt \(\displaystyle{ P}\) ( i ten nowy punkt też będzie przez nią przechodził)
3. Jak znasz już odległość punktu od prostej, to dla tego symetrycznego będzie taka sama. A \(\displaystyle{ P'\left(x,y\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ y}\) to równanie prostej, którą wyznaczyłaś.

Wyznacz równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\), potem współrzędne punktu przecięcia obu tych prostych. Punkt ten jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ PQ}\). Wystarczy skorzystać ze wzoru na współrzędne środka odcinka i wyznaczyć współrzędne punktu \(\displaystyle{ Q}\).

No to tak.
Odległość punktu P od prostej policzyłam i wynosi ona \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\)
Równanie prostej PQ też znalazłam \(\displaystyle{ y= \frac{4}{5} x- \frac{16}{5}}\)
Ale nie rozumiem tego ostatniego kroku, co dokładnie mam potem z tym zrobić

Przyrównujesz \(\displaystyle{ \sqrt{41}}\) do tego wzoru, z którego liczysz odległość punktu od prostej, z tymże podstawiasz za Twoje \(\displaystyle{ y}\) to, co policzyłaś.

-- 11 wrz 2012, o 20:31 --

\(\displaystyle{ \sqrt{41}= \frac{|5x+4\left ( \frac{4}{5}x- \frac{16}{5}\right) -20| }{ \sqrt{25+16} }}\)

Jest jeszcze prostszy sposób rozwiązania, o którym powyżej nie wspomniałem. Myślę jednak, że warto go znać.

Z równania prostej \(\displaystyle{ 5x+4y-20=0}\) odczytujemy współrzędne jej wektora normalnego \(\displaystyle{ [5,4]}\). Jest to oczywiście wektor prostopadły do tej prostej. Jeśli zaczepimy go w punkcie \(\displaystyle{ P}\) i rozważymy teraz wektor o tym samym kierunku i zwrocie co powyższy, lecz o podwojonej długości (tj. wektor \(\displaystyle{ [10,8]}\)), to jego koniec będzie dokładnie w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Stąd łatwo wynika, że \(\displaystyle{ Q=(-1+10,-4+8)=(9,4)}\).

Dziękuję za pomoc