Matematyka.pl

Witam, mam problem z takimi zadaniami:

1. Podaj wartość współczynnika przy wyrazie \(\displaystyle{ a^{11}b^6c^2d}\) w rowinieciu \(\displaystyle{ (a+b+c+d)^{20}}\)

2. Ile wyrazów występuje w rozwinięciu \(\displaystyle{ (a+b+c+d)^{10}}\)

3. Znajdź sumę wszystkich współczynników w rozwinięciu \(\displaystyle{ (a+b+c)^{10}}\)

4. Ile minorów ma macierz 7x7 ?

bardzo proszę o pomoc

Uogólniony wzór Newtona:

\(\displaystyle{ (x_1+...+x_m)^{n}=\sum_{t_1=0}^{n}...\sum_{t_m=0}^{n}{n\choose t_1,...,t_m}x_1^{t_1}...x_m^{t_m}}\)

gdzie \(\displaystyle{ t_1+t_2+...+t_m=n}\)

1. \(\displaystyle{ {20\choose 11,6,2,1,}=\frac{20!}{11!6!2!1!}}\)
2.\(\displaystyle{ {n+m-1\choose n}={13\choose 10}}\)

4. Natomiast jeżeli dobrze pamiętam definicje minoru macierzy to ogólnie można chyba zamienić to zadanie na takie: ile prostokątów zawiera kwadrat utworzony z 16 kresek czyli osiem kresek poziomych i osiem pionowych, w sumie ma on 7 pól u podstawy i 7 pól ma jego bok, odpowiedzią jest:
\(\displaystyle{ {8\choose 2}{8\choose 2}}\)
ale tego na bank nie jestem pewien bo mogłem cos pomieszać z definicją minoru, dobrze bylo by jakby ktos to potwierdzil.

[ Dodano: 4 Marzec 2007, 17:24 ]
3. \(\displaystyle{ \sum_{t_1=0}^{n}\sum_{t_2=0}^{n-t_1}\sum_{t_3=0}^{n-t_1-t_2}{n\choose t_1,t_2,t_3}}\) Taki wzór mi wychodzi z tym że narazie nie wiem jak to rozpracowac

[ Dodano: 4 Marzec 2007, 23:25 ]
AD 3. Te sumy powyżej na mocy uogólnionego wzoru Newtona równają się \(\displaystyle{ 3^{n}}\) czyli w przypadku tego zadania odpowiedź brzmi \(\displaystyle{ 3^{10}}\)

zad 4.

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{7} {7 \choose i} ^{2}}\)

Na początku możesz wybrać \(\displaystyle{ {7 \choose 1}}\) kolumn oraz \(\displaystyle{ {7 \choose 1}}\) wierszy dla pierwszego minoru. Natomiast z tej macierzy możemy zrobić aż 7 minorów czyli zmniejszając macierz do jednego wymiaru dostaniemy na samym końcu \(\displaystyle{ {7 \choose 7} {7 \choose 7}}\).