Matematyka.pl

\(\displaystyle{ y''+2y''+2y=e ^{-x}\sin x}\) \(\displaystyle{ y(0)=1}\), \(\displaystyle{ y'(0)=1}\)

Poddaje obie strony przekształceniu Laplace'a

\(\displaystyle{ s ^{2}L\left\{ y\right\} -s-1+2sL\left\{ y\right\} +2L\left\{ y\right\} = \frac{2s+2}{(s+1) ^{2}+1 }}\)
\(\displaystyle{ L\left\{ y\right\} =\frac{2s+2}{\left( (s+1) ^{2}+1\right) ^{2} }+ \frac{s+2}{(s+1) ^{2}+1}}\)

Co dalej?

Po lewej zamiast: \(\displaystyle{ -s-1}\) powinno być \(\displaystyle{ -s-3}\) a po prawej \(\displaystyle{ \frac{1}{(s+1) ^{2}+1 }}\) (o ile miało być \(\displaystyle{ e^{-x} \sin x}\)). Teraz to odpowiednio przekształć.

Nie moge sobie poradzić z tym przekształceniem... Mam taką postać:
\(\displaystyle{ L\left\{ y\right\} =\frac{1}{\left( (s+1) ^{2}+1\right) ^{2} }+ \frac{s+3}{(s+1) ^{2}+1}}\) Co teraz powinienem zrobić?

Rozpisz ostatni ułamek jako: \(\displaystyle{ \frac{s+1}{(s+1) ^{2}+1} + \frac{2}{(s+1) ^{2}+1}}\) i skorzystaj ze wzorków.

A co z pierwszym?

Najwygodniej chyba byłoby skorzystać z residuów.