Matematyka.pl

Witam serdecznie,
Prosiłbym o jak najdokładniejsze wyjaśnienie następującego zadanka:

W koszyku znajduje się 10 bananów, 8 jabłek oraz 7 pomarańczy. Ile różnych zestawów, każdy składający się z 8 owoców, można utworzyć przy założeniu, że każdy taki zestaw zawiera co najmniej jednego banana i co najmniej dwa jabłka

Wiem tylko, że z zasady włączeń i wyłączeń, ale nie mam pojęcia jak to podejść. Z góry dzięki

czy tam metoda została narzucona?

Nie tyle narzucona, co wszystkie rozwiązania tego rodzaju zadania na jakie się napotkałem, właśnie na niej się opierały. Przykładowo:

W koszyku znajduje się 10 bananów, 8 jabłek, 6 pomarańczy oraz 4 gruszki. Ile różnych zestawów, każdy składający się z 8 owoców, można utworzyć przy założeniu, że każdy taki zestaw zawiera co najmniej dwa banany i co najwyżej 3 jabłka?

I rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2} +x_{3}+x_{4}=10}\)

Banany: \(\displaystyle{ 2\le x _{1} \le 10 \Rightarrow x _{1}=y _{1}+1 \Rightarrow 0 \le y_{1} \le 8}\)
Jabłka: \(\displaystyle{ 0 \le x_{2} \le 3}\)
Pomarańcze: \(\displaystyle{ 0 \le x _{3} \le 6}\)
Gruszki: \(\displaystyle{ 0 \le x _{4} \le 4}\)

\(\displaystyle{ y _{1} +y _{2} +x _{3}+x _{4} = 6}\)

I z zasady włączeń i wyłączeń:
\(\displaystyle{ x=\left( 4+6-1\right)}\) "po" \(\displaystyle{ \left( 6\right)}\)
-\(\displaystyle{ \left( 4+2-1\right)}\) "po" \(\displaystyle{ \left( 2\right)}\) (przypadek w którym weźmiemy ponad 3 jabłka)
-\(\displaystyle{ \left( 4+1-1\right)}\) "po" \(\displaystyle{ \left( 1\right)}\) (przypadek w którym weźmiemy ponad 4 gruszki)

\(\displaystyle{ =\left( 4+6-1\right)}\) "po" \(\displaystyle{ \left( 6\right)-\left( 4+2-1\right)}\) "po" \(\displaystyle{ \left( 2\right)-\left( 4+1-1\right)}\) "po" \(\displaystyle{ \left( 1\right)=...}\)

I tutaj moje wątpliwości:
-czemu nie ma przypadku z przekroczeniem ilości pomarańczy?
-jak liczone są przypadki z nadmiernymi owocami (czemu we wzorze na kombinacje z powtórzeniami n jest równe akurat 2 dla jabłek i 1 dla gruszek)?
-jak zastosować tą metodę dla zad z pierwszego postu?
Jeżeli jest jakaś prostsza metoda, to oczywiście chętnie ją poznam

To rozwiązanie jest nieczytelne i z błędami (być może źle przepisałeś). Jeśli zestaw ma się składać z \(\displaystyle{ 8}\) owoców, to \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4=8}\). Zadanie (to drugie) sprowadza się do tego, że mamy policzyć liczbę zestawów sześcioowocowych, jeśli wybieramy je spośród \(\displaystyle{ 8}\) bananów, \(\displaystyle{ 3}\) jabłek, \(\displaystyle{ 6}\) pomarańczy i \(\displaystyle{ 4}\) gruszek. Wynik to

\(\displaystyle{ \binom{4+6-1}6-\binom{4+6-4-1}{6-4}-\binom{4+6-5-1}{6-5}.}\)

s0ull pisze: -czemu nie ma przypadku z przekroczeniem ilości pomarańczy?

Napisz, o jaką dokładnie sytuację chodzi, bo nie rozumiem.

s0ull pisze: -jak liczone są przypadki z nadmiernymi owocami (czemu we wzorze na kombinacje z powtórzeniami n jest równe akurat 2 dla jabłek i 1 dla gruszek)?

Na początku wybierasz \(\displaystyle{ 4}\) jabłka i potem liczba owoców do wybrania jest równa tylko \(\displaystyle{ 6-4}\).

s0ull pisze: -jak zastosować tą metodę dla zad z pierwszego postu?

A czy te zadania się czymś istotnie różnią?

A móglbys wytlumaczyc skad taka odpowiedz? mam podobne zadanie jak tylko z trzema owocami i nie umiem sobie poradzic

Pani Nesquik, ile rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych ma takie równanie?

\(\displaystyle{ y_1+y_2+y_3+y_4=6}\)

Moze napisze na tych moich danych:
Ile jest zestawów \(\displaystyle{ 7}\) owocowych jezeli mamy \(\displaystyle{ 10}\) bananow, \(\displaystyle{ 8}\) jablek ,\(\displaystyle{ 6}\) pomaranczy. Kazdy zestaw zawiera minimum \(\displaystyle{ 2}\) banany i nie wiecej niz \(\displaystyle{ 3}\) jablka.

\(\displaystyle{ x+y+z=7}\)
\(\displaystyle{ 2 \le x \le 10}\) z tego mam \(\displaystyle{ x=x_1+2}\), a dalej \(\displaystyle{ 0 \le x_1 \le 8}\)
\(\displaystyle{ 0 \le y \le 3}\)
\(\displaystyle{ 0 \le z \le 6}\),
czyli
\(\displaystyle{ x_1+y+z=5}\)-- 25 lis 2014, o 22:06 --I teraz co do liczby rozwiazan, to wiem ze w symbolu \(\displaystyle{ {? \choose 5}}\), tylko nie wiem jak obliczyc \(\displaystyle{ ?}\)

Nesquik pisze: \(\displaystyle{ x_1+y+z=5}\)

Każde rozwiązanie takiego równania odpowiada przyporządkowaniu pięciu nierozróżnialnych kul do trzech pojemników. Na przykład rozwiązaniu \(\displaystyle{ (x_1,y,z)=(1,2,2)}\) odpowiada coś takiego: \(\displaystyle{ \bullet|\bullet\bullet|\bullet\bullet}\) (jedna kula w pierwszym pojemniku i po dwie w pozostałych dwóch).

Okej, ale w takim razie nadal nie wiem jak zapisac ten "licznik"

\(\displaystyle{ \bullet|\bullet\bullet|\bullet\bullet}\)

W każdym takim ciągu masz siedem elementów: pięć kul (\(\displaystyle{ \bullet}\)) i dwie przegródki ( \(\displaystyle{ |}\) ). Na ile sposobów możesz wybrać miejsca dla kul?

Kazda kule moge wlozyc w jedno z trzech miejsc, tak?

Spójrz na to jak na siedmioelementowy ciąg.

\(\displaystyle{ \begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\\bullet&|&\bullet&\bullet&|&\bullet&\bullet\end{array}}\)

Na pięciu z siedmiu miejsc masz położyć kule, a w pozostałych przegródki.

okej czyli mam \(\displaystyle{ {7 \choose 5}}\)