Matematyka.pl

Jak wykazać, ze funkcja:

\(\displaystyle{ t\left(e^{1 / t}-1\right)-1}\), dla \(\displaystyle{ t\geq 1}\)

nie przekracza \(\displaystyle{ 1}\)

Powinno się, obliczyć granicę w nieskończoności, udowodnić że f jest monotoniczna dla \(\displaystyle{ t\in[1,+\infty]}\)

i przy okazji obliczyć wartość dla \(\displaystyle{ t=1}\)

Liczę pochodną funkcji powiedzmy \(\displaystyle{ f(t)= t\left(e^{1 / t}-1\right)-1}\),

mam:

\(\displaystyle{ f'(t)=-1 + e^{1/t} - \frac{e^{\frac{1}{t}}}{t}}\)

natomiast

\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty}{f(t)}=\lim_{t\to\infty}e^{1/t}-1-\frac{1}{t}=0}\)

oraz \(\displaystyle{ f(1)=e-2}\),

aby wykazać monotoniczność <funkcja maleje> powinnam sprawdzić czy:

\(\displaystyle{ -1 + e^{1/t} - \frac{e^{\frac{1}{t}}}{t}\leq 0}\)

jakieś wskazówki jak to ładnie rozpisać?-- 4 wrz 2012, o 21:25 --Tak się zastanawiam czy nie wystarczy stwierdzić, iż funkcja jest wypukła zatem będzie osiągać maksimum na "krańcu" przedziału?