Matematyka.pl

1. Czy ciąg koniecznie musi być monotoniczny i ograniczony aby był zbieżny ?
2. Czy z ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny ?
3. Czy ciąg monotoniczny i nieograniczony może być zbiezny ?
{Tutaj jestem prawie pewny, że nie. Jeśli jest nieograniczony to może posiadać jedynie granice niewłaściwą.}
4. Czy jeśli ciąg jest ograniczony to jego elementem największym/najmniejszym zbioru skupienia jest jego granica górna/dolna ?
5. Czy każdy ciąg zbieżny musi posiadać dwa punkty skupienia ?
6. Jeśli ciąg jest ograniczony i rosnący to jest granica jest supremum wyrazów tego ciągu ?
7. Czy istnieje ciąg zawierający wszystkie liczby wymierne ?
8. Czy dla każdego ciągu zbieżnego będzie istniał podciąg ograniczony ?
9. Czy iloczyn dwóch ciągów zbieżnych daje ciag zbieżny ?

Propozycje swoich odpowiedzi poprosimy razem z uzasadnieniem

1. Czy ciąg koniecznie musi być monotoniczny i ograniczony aby był zbieżny ?

wsk rozwaz ciag \(\displaystyle{ u_n= \frac{(-1)^n}{n}}\)