Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) dane są: \(\displaystyle{ AB=10, \alpha =30, \beta = 45}\). Oblicz długości pozostałych boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Wynika z tego że \(\displaystyle{ \gamma= 105}\).
\(\displaystyle{ \frac{10}{\sin 30} = \frac{b}{\sin 45}}\)

\(\displaystyle{ b=10 \cdot \frac{\sin 45}{\sin 30}}\)
Z dalszych obliczeń wyszło mi że \(\displaystyle{ b=10 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{10}{\sin 30}= \frac{c}{\sin (30+45)}}\) // bo \(\displaystyle{ \sin (180-105)=\sin (75)=\sin (30+45)}\)

\(\displaystyle{ c=10 \cdot \frac{\sin 30+\sin 45}{\sin 30}}\)

\(\displaystyle{ c=10 \cdot \sin 45}\)
Z obliczeń wyszło mi \(\displaystyle{ 5 \sqrt{2}}\)

Wydaje mi się że zrobiłem dobrze jednak odpowiedzi w książce są inne.
\(\displaystyle{ (BC) b=20\sin 15 \\
(CA) c= \frac{5 \sqrt{2} }{\sin 15}}\)
Gdzie zrobiłem błąd?

sinus sumy nie jest równy sumie sinusów, i nie możesz wykonywać takiego skracania jak przy obliczaniu c

Wiec jak to zrobic?

Np. stosując wzór na sinus sumy, który możesz sobie łatwo wyprowadzić, a jeśli Ci się nie chce - wpisz w google/sprawdź w kompendium pod "funkcje trygonometryczne".

Zakładam, że naprzeciwko boku \(\displaystyle{ AB}\) jest kąt \(\displaystyle{ \alpha}\), naprzeciw \(\displaystyle{ BC}\) kąt \(\displaystyle{ \beta}\) i naprzeciw \(\displaystyle{ CA}\) kąt \(\displaystyle{ \gamma}\).

\(\displaystyle{ b}\) wyliczyłeś dobrze

żeby wyliczyć \(\displaystyle{ c}\) bez znajomości wartości sinusa \(\displaystyle{ 75}\) czy też \(\displaystyle{ 15}\) stopni, stosujemy twierdzenie cosinusów (będziemy potrzebować tylko cosinusa \(\displaystyle{ 30}\) stopni albo \(\displaystyle{ 45}\) stopni):

\(\displaystyle{ 10^2= b^2+c^2-2bc \cdot \cos \alpha \\ 100=\left( 10 \sqrt{2} \right)^2+c^2-2 \cdot 10 \sqrt{2} \cdot c \cdot \cos30^o \\ 100=200+c^2-10 \sqrt{6} c \\ c^2-10 \sqrt{6} c-100=0 \\ \Delta=600-4 \cdot 1 \cdot \left( -100\right) = 1000 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 10 \sqrt{10} \\ c_1= \frac{10 \sqrt{6} - 10 \sqrt{10} }{2} < 0 \ \ \vee \ \ c_2= \frac{10 \sqrt{6} + 10 \sqrt{10} }{2} = 5\left( \sqrt{6} + \sqrt{10} \right)}\)

Zatem \(\displaystyle{ c=5\left( \sqrt{6} + \sqrt{10} \right)}\)

Promień okręgu opisanego obliczasz np. z twierdzenia sinusów:

\(\displaystyle{ \frac{10}{\sin30^o} = 2R \\ \\ R=...}\)