Matematyka.pl

Zadanie wprost ze zbioru Kaczor, Nowak cz.2
1.5.2 (b) \(\displaystyle{ \newline}\)
Zbadać jednostajną ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=xsin(x)}\) na \(\displaystyle{ [0, infty)}\)

Odpowiedź sugerowana:
rozważamy ciągi \(\displaystyle{ x_n = 2\pi n}\), \(\displaystyle{ y_n = 2 \pi n + \frac{1}{n}}\)
jako, że \(\displaystyle{ |x_n - y_n| \rightarrow 0}\), a \(\displaystyle{ |f(x_n) - f(y_n)| \rightarrow 2 \pi}\), to \(\displaystyle{ f}\) nie jest jednostajnie ciągła.
(oczywiście wszędzie zbiegamy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\))

Rozumiem dlaczego to ma nie działać, ale nie mam pojęcia jak pokazać \(\displaystyle{ |f(x_n) - f(y_n)| \rightarrow 2 \pi}\).

Mamy:
\(\displaystyle{ |f(x_n) - f(y_n)| =}\)
\(\displaystyle{ = |2 \pi n \cdot sin(2 \pi n) - (2 \pi n + \frac{1}{n}) \cdot sin(2 \pi n + \frac{1}{n})| =}\)
i już nie widzę tego dalej. Jest wyrażenie nieoznaczone \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\), którego nie mogę się pozbyć.
Będę ogromnie wdzięczny za sugestie i podpowiedzi, jak można próbować wyliczyć tę granicę.

\(\displaystyle{ \sin(2 \pi n)=0}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ \cos(2 \pi n)=1}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}n\sin\left(\frac{1}{n}\right)=1}\)

a na początek radzę zastosować wzór na \(\displaystyle{ \sin(x+y)}\)

Ok, mam więc:
\(\displaystyle{ 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) - (2 \pi n + \frac{1}{n} ) \cdot \sin(2 \pi n + \frac{1}{n} ) =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) - 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) \cdot \cos (\frac{1}{n}) - 2 \pi n \cdot \cos(2 \pi n) \sin(\frac{1}{n}) -}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} \sin(2 \pi n) \cos(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n} \cos (2 \pi n) sin(\frac{1}{n}) =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \pi n \sin (2 \pi n) (1 - \cos(\frac{1}{n})) - 2\pi \cdot \cos(2 \pi n) \cdot n \sin(\frac{1}{n}) -}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} \cdot sin(2 \pi n) \cdot cos(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n} \cdot \cos(2 \pi n) \cdot \sin(\frac{1}{n})}\)

W sposób dość oczywisty zachodzą poniższe zbieżności:
\(\displaystyle{ 2\pi \cdot \cos(2 \pi n) \cdot n \sin(\frac{1}{n}) \rightarrow 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot sin(2 \pi n) \cdot cos(\frac{1}{n}) \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot \cos(2 \pi n) \cdot \sin(\frac{1}{n}) \rightarrow 0}\)

Pozostaje skomentować:
\(\displaystyle{ 2 \pi n \sin (2 \pi n) (1 - \cos(\frac{1}{n})) \rightarrow^{?} 0}\)
tu kolejny zastój, jest jakiś oczywisty powód?

Powód jest oczywisty i jest w moim poście wyżej, ile stale wynosi ten sinus?