Matematyka.pl

... względem średnicy okręgu, przyjmując stałą gęstość liniową.

A więc powinienem skorzystać ze wzoru na moment bezwładnośći łuku krzywej który wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ I _{x}= \int_{(A)}^{(B)} \lambda y ^{2}dL}\) ? A jak mam dobrać przedział całkowania i czy skorzystać z równania parametrycznego na okrąg czy ogólnego?

Czyli ten wzór jest dla współrzędnych biegunowych? A jak by wyglądał moment bezwładności koła? Można to zrobić wykorzystując parametryczne równanie okręgu?

Dla koła:
\(\displaystyle{ dS=r\,drd\varphi\\
y=r\sin\varphi\\
I_o=\int_S \lambda y^2\, dS=\int_0^{2\pi}\int_0^R\lambda r^3\sin^2\varphi\,drd\varphi=\frac{1}{4}\pi\lambda R^4}\)

A moge zrobić tak?:

Korzystam ze wzoru na moment bezwładności trapezu krzywoliniowego:

\(\displaystyle{ I _{x}= \frac{1}{3} \rho \int_{a}^{b}y ^{3}dx}\)

Przechodzę na układ biegunowy:

\(\displaystyle{ x=rcos \alpha}\)

\(\displaystyle{ dx=-rsin \alpha d \alpha}\)

\(\displaystyle{ y=rsin \alpha}\)

Podstawiam do wzoru na moment:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} I _{x}= -\frac{1}{3} \rho \int_{0}^{ \pi }\ (rsin \alpha) ^{3}rsin \alpha d \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} I _{x}= -\frac{1}{3} \rho r ^{4} \int_{0}^{ \pi }\sin^{4} \alpha d \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} I _{x}= \frac{1}{3} \rho r ^{4} \left[ \frac{1}{4}sin ^{3} \alpha cos \alpha + \frac{3}{8}sin \alpha cos \alpha - \frac{3}{8} \alpha \right] _{0} ^{ \pi }}\)

\(\displaystyle{ I _{x}=- \frac{1}{4}\rho \pi r ^{4}}\)


Wynik różni się minusem. Jak to interpretować? Błąd w obliczeniach czy błąd rzeczowy?
Pozdr.

Koło nie trapezem krzywoliniowym, więc ten wzór nie działa. Poza tym zmiana współrzędnych jest źle zrobiona.

Polokrag nie jest szczególnym przypadkiem trapezu krzywoliniowego? Definicja z Krysickiego:

Jeżeli \(\displaystyle{ y=f(x)}\) jest funkcją ciągłą w przedziale \(\displaystyle{ a \le x \le b}\), przybierającą w tym przedziale wartości nieujemne, i jeżeli \(\displaystyle{ A'A}\) jest rzędną początkową krzywej a w punkcie \(\displaystyle{ x=a}\) a \(\displaystyle{ B'B}\) jest rzędną końcową tej krzywej w punkcie \(\displaystyle{ x=b}\) to moment bezwładności trapezu krzywoliniowego \(\displaystyle{ A'ABB'}\)względem osi Ox czyli obszaru ograniczonego odcinkiem \(\displaystyle{ A'B'}\) osi ox, rzędnymi \(\displaystyle{ A'a}\) i \(\displaystyle{ B'b}\) oraz łukiem AB krzyej \(\displaystyle{ y=f(x)}\) wyraża się całką: \(\displaystyle{ I _{x}= \frac{1}{3} \rho \int_{a}^{b}y ^{3}dx}\)

Czy jest powiedziane że odcinki \(\displaystyle{ A'A}\) i \(\displaystyle{ B'B}\) muszą być większe od zera tzn że te punkty nie mogą sie pokrywać a funkcja \(\displaystyle{ y=f(x)}\) nie może być taką funkcją :\(\displaystyle{ y= \sqrt{r ^{2}-x ^{2} }}\) ? Wydaję mi się że powyższa definicja nie wyklucza możliwości zastosowanie tego wzoru.

W takim razie jak powinna wyglądać zamiana współrzędnych?

No oczywiście jest trapezem krzywoliniowym, coś mnie zaćmiło. Ale to przejście na współrzędne biegunowe nie jest tutaj możliwe, bo mamy całkę pojedynczą, nie podwójną.

To dlaczego w sposób analogiczny rozwiązałeś zadanie w pierwszym twoim poście? Tam też masz całkę pojedynczą a zastosowałeś układ biegunowy...

Bo to nie był układ biegunowy, po prostu liczę długość łuku w funkcji kąta: \(\displaystyle{ L=r\varphi \Rightarrow dL=r\,d\varphi}\), tutaj w ogóle nie korzystam z żadnego układu współrzędnych.