Matematyka.pl

Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół OX krzywej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x-1}}\) dla \(\displaystyle{ x\in <1;100>}\)
\(\displaystyle{ V=\pi \int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^2 dx}\)
\(\displaystyle{ V=\pi \int_{1}^{100}\left(\frac{1}{x-1}\right)^2 dx=\pi \int_{1}^{100}\frac{1}{(x-1)^2} dx}\)
rozw. pomocnicze
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x-1)^2} dx= \begin{cases} u=x-1 \\ du=dx \end{cases} = \int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+c=-\frac{1}{x-1}+c=\frac{1}{1-x}+c}\)
i dalej
\(\displaystyle{ V=\pi\left[\frac{1}{1-x}\right]_{1}^{100}=\pi\left(\frac{1}{1-100}-\frac{1}{1-1}\right)}\)
i tu już nie wiem co zrobić bo wychodzi dzielenie przez zero

Na tym przedziale co podałeś to objętość jest nieskończona

na podstawie czego taki wniosek mogę wyciągnąć?

Sam tak obliczyłeś. Jak podstawisz 1 to masz nieskończoność. W sumie nie jest to dziwne bo w 1 twoja funkcja ma asymptotę pionową.

i nie trzeba w tym przypadku już nic dodatkowo liczyć?

Trzeba liczyć i pokazać, że jest nieskończoność bo nie zawsze musi tak być. Przykładowo istnieją obiekty o skończonej objętości, a nieskończonym obwodzie (fraktale).

no czyli co teraz mam policzyc zeby to udowodnic?

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x-1}}\), \(\displaystyle{ x \in <1+\epsilon^{2}, 100>}\)

\(\displaystyle{ V= \pi \int\limits_{1+\epsilon^{2}}^{100}f^{2}(x)dx= \pi \int\limits_{1+\epsilon^{2}}^{100} \frac{1}{(x-1)^{2}}dx = \pi \left[ \frac{-1}{x-1}\right]^{100}_{1+\epsilon^{2}} = \pi \left[ \frac{-1}{99}+ \frac{1}{\epsilon^{2}} \right]}\)

\(\displaystyle{ \lim_{\epsilon \to 0}V = \lim_{\epsilon \to 0} \pi \left[ \frac{-1}{99}+ \frac{1}{\epsilon^{2}} \right] = + \infty}\)

dzięki