Matematyka.pl

Muszę obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{1-n} \cdot e ^{-x} dx}\). Zapewne trzeba zastosować jakieś podstawienie ale nie bardzo wiem jakie szczerze powiedziawszy. Jakieś pomysły?

Przez częsci spróbuj.

Próbowałam, nie wychodzi. gdyby x był w potędze powiedzmy 2 to dałoby radę przez części bodajże dwa razy. Tutaj sprawa trochę się komplikuje. Dlatego myślałam o podstawieniu.

Próbowałam, nie wychodzi.

pokaz jak

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x ^{1-n} \cdot e ^{-x} = -e ^{-x} \cdot x ^{1-n} + \int_{}^{} e ^{-x} \cdot (1-n) \cdot x ^{-n} dx}\) . Teraz w tej drugiej całce chciałam zrobić podstawienie ale sprawa się komplikuje.

Znowu przez częsci aż Ci zniknie ten wyraz z \(\displaystyle{ x}\)

No tak, znam schemat tylko nie bardzo wiem jak zapisać wynik w końcowej postaci. No nic, pomyślę o tym jeszcze.

Może jako rekurencję?

Ok, dziękuję. Sprawę upraszcza fakt, że tak na prawdę w moim zadaniu jest to całka oznaczona od 0 do \(\displaystyle{ \infty}\). Ostatecznie wychodzi mi \(\displaystyle{ (-n+1)!}\) i myślę, że jest to dobry wynik.

A ten Twój wynik nie ma przypadkiem sensu tylko dla \(\displaystyle{ n=1}\) jeśli \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)?

Ola964 pisze:Ok, dziękuję. Sprawę upraszcza fakt, że tak na prawdę w moim zadaniu jest to całka oznaczona od 0 do \(\displaystyle{ \infty}\). Ostatecznie wychodzi mi \(\displaystyle{ (-n+1)!}\) i myślę, że jest to dobry wynik.

Jest to oznaczona ?
W takim razie spróbuj z funkcją \(\displaystyle{ \Gamma}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) wtedy to co napisał baQs ma sens