Matematyka.pl

udowodnij ze liczba \(\displaystyle{ (k^3)!}\) dzieli sie przez liczbe \(\displaystyle{ (k!)^{k^2+k+1}}\)

Mamy pokazać \(\displaystyle{ (k!)^{k^2+k+1} \mid (k^3)!}\)

Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ k=1}\) dana podzielność zachodzi, niech \(\displaystyle{ k \ge 2}\). Zauważmy, że wystarczy pokazać podzielność \(\displaystyle{ (k^3)!}\) przez \(\displaystyle{ p^{k^2+k+1}}\) gdzie p jest liczbą pierwszą dzielącą \(\displaystyle{ k!}\), czyli nie większą od \(\displaystyle{ k}\). Weźmy więc dowolne takie \(\displaystyle{ p}\) i korzystając ze wzoru legendre'a dostajemy:

\(\displaystyle{ v_p((k^3)!) = \sum_{i \ge 1} \lfloor \frac{k^3}{p^i} \rfloor \ge \lfloor \frac{k^3}{p}\rfloor + \lfloor \frac{k^3}{p^2} \rfloor + \lfloor \frac{k^3}{p^3} \rfloor \ge \lfloor \frac{pk^2}{p}\rfloor + \lfloor \frac{p^2k}{p^2}\rfloor + \lfloor \frac{p^3}{p^3}\rfloor = k^2+k+1}\)

Co dowodzi tezy.