Matematyka.pl

Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k+1.
Komuś się może udało dokładnie opracować ten problem?

Wynika stąd ... Dirichleta

A bez wyciągania armaty na komara:

Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, \(\displaystyle{ n}\) liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ p | 4n^2+1}\), to \(\displaystyle{ p =1 \ (mod \ 4}\).
Dowód lematu łatwy.

Jak już mamy ten lemat, to załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych przystających \(\displaystyle{ 1}\) modulo 4. Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ p_1, p_2,...,p_n}\). Niech \(\displaystyle{ N=4(p_1p_2...p_n)^2+1}\). Z lematu \(\displaystyle{ N}\) mogą dzielić jedynie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\). Oczywiście żadna z liczb \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ N}\). Sprzeczność.

jak udowodnic ten lemat ?? no bo kurcze ciagle probuje i jakiej bzdury mi wychodza ze nie wazne czy tam jest \(\displaystyle{ n}\) czy \(\displaystyle{ n^2}\) ze i tak dziala a przeciez to niemozliwe, musi miec znaczenie to \(\displaystyle{ n^2}\)

Ogólnie jeżeli \(\displaystyle{ p \mid x^2+1}\) (załóżmy, że \(\displaystyle{ p \neq 2}\)) dla jakiegoś \(\displaystyle{ p\in \mathbb_{P}}\) to musi być \(\displaystyle{ p=4k+1}\). Istotnie, jakby nie wprost istniało takie całkowite x, że istniałoby takie \(\displaystyle{ p=4k+3}\), że \(\displaystyle{ p \mid x^2+1}\) to mielibyśmy wówczas \(\displaystyle{ x^2 \equiv -1\pmod{4k+3} /^{2k+1} \Rightarrow x^{4k+2} \equiv -1 \pmod{4k+3}}\) co przeczy małemu twierdzeniu Fermata.

smigol pisze:Jak już mamy ten lemat, to załóżmy, że jest skończenie wiele liczb pierwszych przystających \(\displaystyle{ 1}\) modulo 4. Niech tymi liczbami będą \(\displaystyle{ p_1, p_2,...,p_n}\). Niech \(\displaystyle{ N=4(p_1p_2...p_n)^2+1}\). Z lematu \(\displaystyle{ N}\) mogą dzielić jedynie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\). Oczywiście żadna z liczb \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ N}\). Sprzeczność.

Wyjaśnię tą sprzeczność dokładniej:

Z lematu \(\displaystyle{ N}\) mogą dzielić jedynie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 4k+1}\).

Zgadzam się.
Liczba N ma rozkład na czynniki pierwsze. Te czynniki pierwsze dzielą N. Zatem są postaci \(\displaystyle{ \left( 4k+1\right)}\) - istnieje taki czynnik, nawet gdy N jest pierwsze- wtedy jest to po prostu N.

Oczywiście żadna z liczb \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) nie dzieli N

Jak najbardziej. Ponieważ \(\displaystyle{ p_1,p_2,...,p_n}\) tworzą wszystkie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ \left( 4k+1\right)}\) , więc nie istnieje liczba pierwsza tej postaci dzieląca N. Pogrubione teksty wskazują na sprzeczność.
Co by kończyło zadanie.

Ogólnie jeżeli \(\displaystyle{ p \mid x^2+1}\) (załóżmy, że \(\displaystyle{ p \neq 2}\))- skąd się wzięło coś takiego?

Co konkretnie nie wiesz skąd się wzięło?

\(\displaystyle{ p \mid x^2+1}\) (załóżmy, że \(\displaystyle{ p \neq 2}\)) właśnie to.

Dalej nie rozumiem, to jest przecież założenie.

Czyli żeby udowodnić ten fakt, który napisałam na początku, wystarczy udowodnić lemat, który został napisany w drugim poście?

To takie pytanie kontrolne:

A zrozumiałaś mój dowód?

Nie bardzo.

Czego konkretnie nie rozumiesz?

Chyba wszystkiego od początku.