Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{2}{3x}+(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{dy}{dx}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-x^{2}+y}{x^{2}y^{2}}=\frac{2x-3}{3xy}\cdot f(x)-\frac{3x^{2}+2y}{3xy} \cdot g(y)}\)

tylko tak:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{A}{x}}\)
\(\displaystyle{ g(y)=\frac{B}{y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{-3x^{2}+3y}{3xy}=\frac{2Axy-3Ay}{3xy}-\frac{3x^{3}B+2Bxy}{3xy}}\)
i jak wyznaczyć tu współczynniki A B ?????
co ja zrobiłem źle...

wytłumacz się z pierwszego przejścia

Sprowadziłem wszystko do wspólnego mianownika i pomnożyłem przez xy.
Jak to rozwiązać?

No to skąd Ci się wziely funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) ?

Nie było czynnika całkującego zależnego od zmiennej x czy też zmiennej y. A te funkcje Krysicki podaje jako przykład. Czy ktoś może mi konkretnie powiedzieć, gdzie tkwi bład ?

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{2}{3x}+(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{dy}{dx}=0\\
\frac{3x^2+2y}{3xy}+\left( \frac{2x-3}{3xy} \right)y^{\prime}=0\\
\left( 3x^2+2y\right)+\left( 2x-3\right)y^{\prime}=0\\}\)

Teraz powinno być już zupełne
Gdyby nie było narzuconej metody to można by było rozwiązywać je jako liniowe

Dalej powinieneś pogrupować składniki i rozwiązać układ na współczynniki


\(\displaystyle{ \frac{ \partial \mu\left( x,y\right)P\left( x,y\right) }{ \partial y}-\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)Q\left( x,y\right) }{ \partial x}=0\\
\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)}{ \partial y}P\left( x,y\right)+\mu\left( x,y\right) \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial \mu\left( x,y\right) }{ \partial x} Q\left( x,y\right)-\mu\left( x,y\right) \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x}=0\\
\mu\left( x,y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)+\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)}{ \partial y}P\left( x,y\right)- \frac{ \partial \mu\left( x,y\right) }{ \partial x} Q\left( x,y\right)\\
\mu\left( x,y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)= \frac{ \partial \mu\left( x,y\right) }{ \partial x} Q\left( x,y\right)-\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)}{ \partial y}P\left( x,y\right)\\}\)

Przyjmujemy że

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right) =\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\\
\frac{ \mbox{d}\varphi }{ \mbox{d}x}=\varphi\left( x\right) f\left( x\right) \\
\frac{ \mbox{d} \psi }{ \mbox{d}y}=\psi\left( y\right) g\left( y\right)}\)

i otrzymujemy

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=\mu\left( x,y\right)Q\left( x,y\right)f\left( x\right) -\mu\left( x,y\right)P\left( x,y\right)g\left( y\right) \\
\frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} =Q\left( x,y\right)f\left( x\right)-P\left( x,y\right)g\left( y\right) \\}\)

Korzystałem z tego wzoru,sprowadziłem wszystko do wspólnego mianownika i wyszło mi :
\(\displaystyle{ \frac{-3x^{2}+3y}{3xy}=\frac{2Axy-3Ay}{3xy}-\frac{3x^{3}B+2Bxy}{3xy}}\)

tutaj się zgubiłem, bo nie ma co przyrównywać współczynniki... co jest nie tak? Równanie zupełne rozwiążę, ale problem mam ze znalezieniem wspomnianych funkcji...

Twoje równanie zostało na początku uproszczone do:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{2}{3x}+(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{dy}{dx}=0\\ \frac{3x^2+2y}{3xy}+\left( \frac{2x-3}{3xy} \right)y^{\prime}=0\\ \left( 3x^2+2y\right)+\left( 2x-3\right)y^{\prime}=0\\}\)

Szukaj teraz czynnika całkującego.

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=\mu\left( x,y\right)Q\left( x,y\right)f\left( x\right) -\mu\left( x,y\right)P\left( x,y\right)g\left( y\right) \\
\frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} =Q\left( x,y\right)f\left( x\right)-P\left( x,y\right)g\left( y\right) \\}\)

korzystałem z tego i wyszły mi powyżej zamieszczone bzdury...
dlaczego?

Źle policzyłeś różnicę tych pochodnych cząstkowych
Pochodne cząstkowe nieco wygodniej będzie liczyć nie sprowadzając funkcji do wspólnego
mianownika

Jak dobrze policzysz różnicę pochodnych to pogrupuj składniki i rozwiąż układ na współczynniki

Załóż że

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{A}{x}\\
g\left( y\right)= \frac{B}{y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{\partial y}=\frac{-x}{y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{\partial x}=\frac{y}{x^{2}y^{2}}}\)
i teraz
\(\displaystyle{ \frac{-x^{3}+y}{y^{2}x^{2}}=(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{A}{x}-(\frac{x}{y}+\frac{2}{3x})\frac{B}{y}}\)
i żeby wyznaczyć te współczynniki sprowadzam wszystko do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{-3x^{3}+3y}{3y^{2}x^{2}}=\frac{2Ayx}{3y^{2}x^{2}}-\frac{3Ay}{3x^{2}y^{2}}-\frac{3Bx^{3}}{3x^{2}y^{2}}-\frac{2Bxy}{3x^{2}y^{2}}}\)
i co z tym zrobić???
w odp. \(\displaystyle{ f(x)=3x}\)
\(\displaystyle{ g(y)=y}\)
a mi wychodzą kompletne bzdury... dlaczego?

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{2}{3x}+(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{dy}{dx}=0\\
P=\frac{x}{y}+\frac{2}{3x}= \frac{3x^2+2y}{3xy}\\
Q=\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy}=\frac{2x-3}{3xy}\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-\frac{x}{y^2}\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}= \frac{1}{x^2y}\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}= -\frac{x^3+y}{x^2y^2}\\
-3\frac{x^3+y}{3x^2y^2}= \frac{y\left( 2x-3\right) }{3xy^2} \cdot \frac{A}{x}- \frac{x\left( 3x^2+2y\right) }{3x^2y} \cdot \frac{B}{y}}\)

Teraz trzeba pogrupować wyrazy i rozwiązać układ na współczynniki

I właśnie tu mam problem... Nie wiem jak pogrupować te wyrazy...
\(\displaystyle{ 2Axy}\) jak na to patrzeć ?

\(\displaystyle{ -3\frac{x^3+y}{3x^2y^2}= \frac{y\left( 2x-3\right) }{3xy^2} \cdot \frac{A}{x}- \frac{x\left( 3x^2+2y\right) }{3x^2y} \cdot \frac{B}{y}\\
2xy \cdot \left( A-B\right)-3x^3B-3yA=-3x^3-3y\\
\begin{cases} A=1 \\ B=1 \end{cases}}\)

Jest też spełnione równanie

\(\displaystyle{ A-B=0}\)

więc funkcje f i g wyglądają następująco

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{1}{x}\\
g\left( y\right)= \frac{1}{y}\\}\)

Dzięki.