Matematyka.pl

Witam,

mam problem z układami równań. Mianowicie chodzi o wektory własne i wartości własne. O ile wartości własne umiem wyznaczyć, o tyle z wektorami nie do końca wiem o co chodzi - wolfram liczy mi wektor który dla danej lambdy pasuje, ale ja licząc go na papierze również policzyłem dla tej samej lambdy wektor, ale inne współrzędne i też pasuje - to znaczy, że może być ich kilka?

Drugie pytanie - czasami mam dwie różne wartości własne, czasami jest jedna, podwojona lub potrojona. Co wtedy powinienem robić? Z tego co w kompendium szukałem nie ma jakiegoś fajnego uogólnienia...

A na koniec proszę o pomoc.

Takie oto zadanko:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x' = 2y - 3x \\ y' = y - 2x \end{cases}}\)

wówczas powstaje układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x'\\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3&2\\-2&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}}\)

licząc lambdy wychodzi nam jedna wartość: \(\displaystyle{ \lambda = -1}\)

więc pierwszy wektor własny jaki mi wychodzi wynosi: \(\displaystyle{ v_{1} = \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}}\)

drugi wektor liczę teraz z takiego układu (\(\displaystyle{ \lambda}\) oczywiście \(\displaystyle{ =-1}\))

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&2\\-2&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1\\v_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}}\)

no i powiedzmy, że wektor jaki mi wychodzi to \(\displaystyle{ v_{2} = \begin{bmatrix} 1\\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}}\)

pokuszę się teraz o napisanie odpowiedzi do tego zadania, analizując jeden z przykładów jakie mam u siebie :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = C_{1} \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} e^{-t} +C_{2}\left(\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix} t + \begin{bmatrix} 1\\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}\right)e^{-t}}\)

czy taka odpowiedź jest dobra? jeśli mam jedną lambdę zawsze postępuję w taki sam sposób?

Przykład z dwukrotnymi wartościami własnymi.

\(\displaystyle{ \lambda=-1}\)

Rozwiązujemy równanie:

\(\displaystyle{ (A-\lambda \cdot I) ^{k} \cdot \vec{x} = \vec{0}}\)

czyli mamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&2\\-2&2\end{array}\right] ^{2} \cdot \vec{x} = \vec{0}}\)

Po rozwiązaniu układu - wyjdzie, iż \(\displaystyle{ x_{1}, x _{2} \in R}\)

Wybieramy zatem dwa, dowolne wektory, niewspółliniowe.

Np.
\(\displaystyle{ v_{1}=\left[\begin{array}{ccc}1\\0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ v_{2}=\left[\begin{array}{ccc}0\\1\end{array}\right]}\)

Rozwiązanie takiego układu jest postaci:

\(\displaystyle{ \vec{y} _{1}=e ^{\lambda t} \cdot B \cdot \vec{v _{1}}}\)
\(\displaystyle{ \vec{y} _{2}=e ^{\lambda t} \cdot B \cdot \vec{v _{2}}}\)

\(\displaystyle{ B=I+A-\lambda \cdot I \cdot t}\)

Po policzeniu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \vec{y} _{1}=e ^{-t} \cdot \left[\begin{array}{ccc}1-2t\\-2t\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{y} _{2}=e ^{-t} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2t\\1+2t\end{array}\right]}\)

no okej, jakoś już to rozumiem, a co jeśli wychodzi mi potrójna lambda? mam taki właśnie kolejny przykład, najważniejsze jest to jak liczyć te wektory własne...

\(\displaystyle{ (A-\lambda \cdot I) ^{k} \cdot \vec{x} = \vec{0}}\)

Ten wzór pozwoli Ci poradzić sobie z k-krotną lambdą