Matematyka.pl

Dla każdej trójki kolejnych wierzcholków wielokąta wypukłego narysowano okrąg przechodzacy przez te wierzchołki. Udowodnić, że ten spośrod otrzymanych okręgów, który ma największy promień zawiera cały wielokąt.
Uzasadnić, ze założenie o wypukłości jest tu istotne.

Jest to dość niepełne, ale myślę, że będzie pomocne.
Załóżmy, że mamy trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\) oraz punkt \(\displaystyle{ D}\) leżący poza okręgiem. Załóżmy, że odcinek \(\displaystyle{ AD}\) jest przekątną czworokąta wypukłego \(\displaystyle{ ABCD}\) i przecina okrąg w pkcie \(\displaystyle{ E}\). Łatwo wykazać, że kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle ADB < \sphericalangle ADE=\sphericalangle ACB}\).

Co za tym idzie promień okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\) jest dłuższy od \(\displaystyle{ r}\),
gdzyż \(\displaystyle{ \frac{|AB|}{2\sin \sphericalangle ACB}<\frac{|AB|}{2\sin \sphericalangle ADB}}\)
Jeśli chodzi o kontrprzykład dla wklęsłego, to wystarczy wziąć równoramienny trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\) oraz wziąć pkt \(\displaystyle{ D}\) leżący wewnątrz.

...ale myśle że bedzie...

Kiedy zastosowano tu wypukłość ?

Jeśli chodzi o kontrprzykład dla wklęsłego, to wystarczy wziąć równoramienny trójkąt prostokątny \(\displaystyle{ ABC}\) oraz wziąć pkt \(\displaystyle{ D}\) leżący wewnątrz.

ale \(\displaystyle{ A, B, C}\) są kolejmymi wierzchołkami....???!

Lemat: Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie okręgiem opisanym na pewnych trzech wierzchołkach \(\displaystyle{ A,B,C}\) wielokąta wypukłego. Wówczas istnieją trzy kolejne wierzchołki tego wielokąta takie, że okrąg na nich opisany ma promień nie mniejszy od promienia okręgu \(\displaystyle{ S}\).

Dowód lematu. Z wypukłości wielokąta wynika, że wierzchołki pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) leżą na zewnątrz kąta (domkniętego) \(\displaystyle{ \angle ABC}\).
Jeśli pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) a \(\displaystyle{ B}\) znajdziemy wierzchołek \(\displaystyle{ P}\) leżący we wnętrzu okręgu \(\displaystyle{ S}\), to okrąg opisany ma trójkącie \(\displaystyle{ ABP}\) jest współpękowy z \(\displaystyle{ S}\) i ma większy promień. Analogicznie jeśli \(\displaystyle{ P}\) leży pomiędzy \(\displaystyle{ B}\) a \(\displaystyle{ C}\). Podobnie, jeśli pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) a \(\displaystyle{ B}\) znajdziemy punkt \(\displaystyle{ Q}\) na zewnątrz okręgu \(\displaystyle{ S}\), to okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ QBC}\) ma promień większy od promienia okręgu \(\displaystyle{ S}\). Analogicznie dla \(\displaystyle{ Q}\) pomiędzy \(\displaystyle{ B}\) a \(\displaystyle{ C}\). Zatem albo \(\displaystyle{ A,B,C}\) są kolejnymi wierzchołkami, albo znajdziemy trzy wierzchołki wielokąta z mniejszą liczbą pośrednich wierzchołków i z okręgiem na nich opisanych o promieniu nie mniejszym niż promień \(\displaystyle{ S}\). Trójek wierzchołków wielokąta jest skończenie wiele, więc ewentualnie powtarzając powyższą procedurę otrzymamy ostatecznie trzy kolejne wierzchołki.

Teraz rozwiązanie zadania. Niech maksymalny promień okręgów opisanych na trzech kolejnych wierzchołkach tego wielokąta będzie realizowany dla wierzchołków \(\displaystyle{ A,B,C}\) i okręgu \(\displaystyle{ S}\).

Przyjmijmy, że
1. \(\displaystyle{ AB}\) jest bokiem minimalnej długości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), czyli w szczególności krótszym od średnicy \(\displaystyle{ S}\),
2. prosta \(\displaystyle{ l}\) przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ A,B}\) jest pionowa (np. oś \(\displaystyle{ Y}\) w układzie kartezjańskim) oraz, że
3. wszystkie pozostałe wierzchołki wielokąta leżą na prawo od tej prostej (można założyć na mocy wypukłości wielokąta).

Chcemy pokazać, że wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu \(\displaystyle{ S}\) lub w jego wnętrzu. Zauważmy, że z 1. wynika, że środek okręgu \(\displaystyle{ S}\) leży na prawo od prostej \(\displaystyle{ l}\).

Dla dowodu przez zaprzeczenie przypuśćmy teraz, że istnieje wierzchołek wielokąta \(\displaystyle{ D}\) na zewnątrz \(\displaystyle{ S}\). Wówczas okrąg \(\displaystyle{ S'}\) opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABD}\) jest współpękowy z \(\displaystyle{ S}\) i ma punkt leżący na prawo od prostej \(\displaystyle{ l}\) i na zewnątrz okręgu \(\displaystyle{ S}\). Zatem okrąg \(\displaystyle{ S'}\) ma promień większej długości od długości promienia okręgu \(\displaystyle{ S}\). Na mocy lematu przeczy to jednak maksymalności promienia okręgu \(\displaystyle{ S}\).

Założenie o wypukłości jest istotne, bo np. "gwiazda", czyli wielokąt otrzymany przez doklejenie podstawami przystających ostrokątnych trójkątów równoramiennych do boków wielokąta foremnego w oczywisty sposób nie spełnia tezy.