Matematyka.pl

Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego

\(\displaystyle{ (1+ t^{2} )y'=1+ y^{2}}\) z warunkiem początkowym

\(\displaystyle{ y (1)=1}\).

Wyszło mi: \(\displaystyle{ y=\tg \left( \arctan \left( t \right) - \frac{ \pi }{2} \right) \right)}\)

a w odpowiedziach jest że:

\(\displaystyle{ y=- \frac{1}{t}}\)


Jak przejść na to rozwiązanie?

\(\displaystyle{ \tg \left( x-\frac{\pi}{2 } \right) =-\ctg x}\)

Potem def. funkcji cyklometrycznych i zależność pomiędzy tangensem a cotangensem

Zauważ, że \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{t}}\) nie spełnia warunku początkowego. Spełnia go (wraz z równaniem ) funkcja \(\displaystyle{ y(t)=t.}\) Po trywialnym całkowaniu dochodzimy do równości arcus tangensów i zerowej stałej całkowania.

Na mocy odpowiedniego twierdzenia rozwiązanie identycznościowe jest jednoznaczne w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ (1,1)}\). To otoczenie może być dość spore. Jakie - sam rozstrzygnij,

kurcze, strasznie Was przepraszam ale w tym warunku początkowym powinno być:

\(\displaystyle{ y(1)=-1}\)

Wtedy \(\displaystyle{ C= - \frac{\pi}{ 2}}\) i robisz tak jak pisałem wyżej.

coś nie bardzo czaje...

\(\displaystyle{ \arctan \left( t \right)=x \Leftrightarrow t=\tg x}\)

Wiadomo, że \(\displaystyle{ \tg x \cdot \ctg x= 1}\) , a więc \(\displaystyle{ \ctg x = \frac{1}{\tg x}=\frac{1}{t}}\), czyli \(\displaystyle{ x= \arc\ctg \left( \frac{1}{t} \right)}\)

Mamy zatem
\(\displaystyle{ y=\tg \left( \arctan \left( t \right) - \frac{ \pi }{2} \right) \right)
=- \ctg \left( \arctan \left( t \right) \right) = - \ctg \left( x \right) =- \ctg \left( \arc\ctg \frac{1}{t} \right) =- \frac{1}{t}}\)

Dzięki:), Jeśli masz rzeczywiście 17 lat to szacun...