Matematyka.pl

Mam do rozwiązania następujące zadanie:
Punkty \(\displaystyle{ A = (2,5)}\) i \(\displaystyle{ B = (1,3)}\) są końcami cięciwy okręgu, którego środek należy do prostej o równaniu
\(\displaystyle{ 3x -y + 2 = 0}\). Znajdź środek okręgu i oblicz jego promień.

próbowałeś coś z tym zrobić? rysunek chociaż?

Pamiętaj, że punkt przecięcia symetralnych dwóch i więcej dowolnych cięciw wyznaczają środek okręgu.

Jedną cięciwę już masz - \(\displaystyle{ AB}\)

Wiesz też, że na prostej \(\displaystyle{ y = 3x + 2}\) leży środek okręgu. A więc wystarczy poprowadzić symetralna odcinka \(\displaystyle{ AB}\), a punkt przecięcia \(\displaystyle{ AB}\) i prostej \(\displaystyle{ y = 3x+2}\) stanowi środek tego okręgu.

-- 6 sie 2012, o 18:40 --

No to liczymy:

Równanie odcinka \(\displaystyle{ AB}\)

\(\displaystyle{ a = \frac{5-3}{2-1} = 2\\
\\
y = 2x + b\\
\\
5 = 2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 1\\
\\
\hbox{Wzór odcinka AB}:\ y = 2x+1}\)

Teraz wyznaczymy środek \(\displaystyle{ \hbox{( Ś )}}\) tego odcinka:

\(\displaystyle{ \hbox{Ś}\ \left( \frac{1+2}{2}; \frac{5+3}{2}\right)\\
\\
\\
\hbox{Ś}\ \left( \frac{3}{2} ;\ 4\right)}\)

Teraz wzór symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) :

\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{2}x + b \\
\\
4 = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + b \\
\\
4 = - \frac{3}{4} + b \Rightarrow b = 4 \frac{3}{4}\\
\\
\hbox{Wzór symetralnej}\ y = - \frac{1}{2}x + 4 \frac{3}{4}}\)

I teraz liczymy punkt przecięcia się symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\) i prostej \(\displaystyle{ y = 3x+2}\)

\(\displaystyle{ 3x + 2 = - \frac{1}{2}x+4 \frac{3}{4} \\
\\
3 \frac{1}{2}x = 2 \frac{3}{4} \\
\\
\frac{7}{2}x = \frac{11}{4} / \cdot \frac{2}{7} \\
\\
x = \frac{22}{28} = \frac{11}{14}}\)

A więc mamy pierwszą współrzędną srodka okręgu. Teraz wystarczy ten argument podstawić do którejkolwiek z funkcji, które użyliśmy poprzednio.

\(\displaystyle{ y = 3 \cdot \frac{11}{14} + 2 = \frac{33}{14} + 2 = 2 \frac{5}{14}+2 = 4 \frac{5}{14}}\)

A wiec współrzędne środka okręgu to: \(\displaystyle{ O\left( \frac{11}{14}; 4\frac{5}{14}\right)}\)