Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{1}{ \sqrt{ x-x ^{2} }}}\)

Były próby przedstawienia tego jako arcsinx i się nie udały. Próbowałem ją ogarniczać z dołu całką rozbieżną, też nie znalazłem. Jakaś wskazówka?

82336.htm

i szukamy swojej całki

miodzio1988, poszukane i nieznalezione.

Metoda tam jest napisana jak to robić, ale ok.

Wyrażenie pod pierwiastkiem proszę przekształcić tak aby bardziej przypominało tego arcusa do którego chcemy dojść

Dochodzę więc do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{ \sqrt{1-((x- \frac{1}{2}) ^{2}+ \frac{3}{4}) } }}\)

W tym kierunku?

No powiedzmy. Tylko w tym nawiasie stała nam przeszkadza, nie?

Racja, więc musimy troszkę inaczej to przekształcić.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{ \sqrt{( \frac{ \sqrt{7} }{2}) ^{2} -(x- \frac{1}{2}) ^{2} } }}\)

i ostatecznie wynikiem takiej całki nieoznaczonej będzie:

\(\displaystyle{ \arcsin \frac{2x-1}{ \sqrt{7} }}\) .

Oznaczoną bez problemu policzę.

Jeśli chcesz sprawdzić wynik różniczkuj

Najprościej jest zrobić podstawienie \(\displaystyle{ x= \sin ^2y}\).

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{ \sqrt{\frac{1}{4}- \left( \left( x- \frac{1}{2} \right) ^{2} \right) } } = \int_{0}^{1} \frac{dx}{ \sqrt{\frac{1}{4} \left( 1- \left( 2 \left( x- \frac{1}{2} \right) \right) ^{2} \right) } }}\)
i podstawienie \(\displaystyle{ t=2 \left( x- \frac{1}{2} \right)}\) i dalej to już mamy \(\displaystyle{ \arcsin x}\)