Naprężenia zredukowane

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: kruszewski » 2 sie 2012, o 19:45

Na PW otrzymałem list z zapytaniem:
"dlaczego w niektórych zadaniach z wytrzymałości materiałów z tematyki 'wytrzymałość złożona' liczy się naprężenia z naprężeń zredukowanych a czasem z momentu zredukowanego? naprężenia zredukowane z Hubera to są naprężęnia normalne plus gnące do kwadratu plus skręcające do kwadratu a moment zast. naprężenia gnace plus \(\displaystyle{ 3/4}\) naprężeń skręcających... czyli w zasadzie podobnie nie mogę dojść czemu raz korzystamy z tego a raz z tego i przytoczył wzory :
\(\displaystyle{ M_{zast}= \sqrt{ \left( Mg_{max} \right) ^{2}+ \frac{3}{4}\left( Ms_{max} \right) ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \sigma_{red}= \sqrt{ \sigma_{g} ^{2}+3 \tau_{s} ^{2} }}\)
Pytając :"od czego to zależy że raz tak a raz tak?"
Myślę, że temat może interesować i innych Użytkowników przepisuje to odpowiedź na zadane pytanie.
Odpowiedziałem tak:
Problem polega na tym, że wzór pierwszy, ten z momentami, jest ważny tylko dla zginanych i skręcanych belek o przekroju kołowym, np. Wał, oś, albo inna belka ale o takim przekroju.
Zróbmy takie przekształcenia wzoru drugiego ( z naprężeniami).
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{M _{g} }{W _{x} } ; \tau = \frac{M _{s} }{W _{o} }}\)
Celowo piszę \(\displaystyle{ x}\) by odróżnić od \(\displaystyle{ z}\)-zredukowany. Choć poprawniej jest powiedzieć sprowadzony do wysiłku od zastępczego rozciągania.
Jeżeli zauważyć, że dla przekroju kołowego zachodzą związki :
\(\displaystyle{ W _{o} = 2W _{x}}\) to:
\(\displaystyle{ \sigma = \frac{M _{g} }{W _{x} }}\) oraz \(\displaystyle{ \tau= \frac{M _{s} }{2W _{x} }}\)
Zatem wg hypotezy Hubera \(\displaystyle{ \sigma _{z} = \sqrt{\sigma ^{2} +3\tau ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ M _{z} = W _{x} \cdot \sigma _{z} = \sqrt{ M ^{2}_{g}+ \frac{3}{4}M ^{2} _{s} }}\)
A teraz, kiedy stosujemy wzór : \(\displaystyle{ \sigma _{z} = \sqrt{ \sigma ^{2} +3\tau ^{2} }}\)
Zawsze wtedy kiedy belka zginano-skręcana jest przekroju NIEKOŁOWEGO , oraz wtedy kiedy zachodzi ścinanie i rozciąganie/ściskanie jednocześnie.
Jak wzór na "zginane-skręcanie" nie podpada pod wyprowadzony wyżej wzór jeżeli przekrój jest niekołowy, to można zobaczyć podstawiając przekrój prostokątny axb i zauważając, że \(\displaystyle{ W_o = W_x +W_y}\) , gdzie są to wskaźniki wytrzymałości porachowane od głównych centralnych momentów bezwładności. Zatem jeden jest max, a drugi minimum. Rachunek nie trudny ale pouczający.
W.Kr.

novakradek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 kwie 2013, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Pomógł: 1 raz

Naprężenia zredukowane

Post autor: novakradek » 18 kwie 2013, o 08:07

Witam
Jeżeli chodzi o drugi wzór na naprężenia zredukowane według hipotezy energetycznej Huber Mises Hencky'ego to stosujemy ją wtedy gdy dany układ prętowy, nie koniecznie belka, może to być również rama, czy pręt słabozakrzywiony jest zginana i ścinana, a nie skręcana jak kolega wyżej wspomniał. Co do przekroju, to wszystko zależy tylko i wyłącznie od umiejętności liczenia momentów bezwładności i momentów statycznych, zawsze można wesprzeć się całkowaniem.
Pozdrawiam serdecznie
RN

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: kruszewski » 18 kwie 2013, o 11:08

[quote="novakradek"]Witam
Jeżeli chodzi o drugi wzór na naprężenia zredukowane według hipotezy energetycznej Huber Mises Hencky'ego to stosujemy ją wtedy gdy dany układ prętowy, nie koniecznie belka, może to być również rama, czy pręt słabozakrzywiony jest zginana i ścinana, a nie skręcana jak kolega wyżej wspomniał. Co do przekroju, to wszystko zależy tylko i wyłącznie od umiejętności liczenia momentów bezwładności i momentów statycznych, zawsze można wesprzeć się całkowaniem.
Pozdrawiam serdecznie
RN[/quote]
Pozwolę sobie dodać, że rama jest układem prętowym, co zauważa Kolega, może Koleżanka "novakradek". Zatem jest to układ składający z mniej lub bardziej smukłych belek połączonych przegubami lub "nas sztywno" w miejscach ich łączenia. Podobnie każdy pręt słabo czy silnie zakrzywiony. Pozwolę sobie dodać i to, że tylko w przypadku czystego zginania w belce, pręcie nie występują naprężenia styczne. Zatem rzecz biorąc ściśle teoretycznie po za tym wspomnianym przypadkiem należy obliczać-wyznaczać w przekrojach belek naprężenia normalne ( rozciągające/ściskające) i styczne wywołane siłą poprzeczną oraz momentem skręcającym.
W obliczeniach inżynierskich belek z reguły smukłych pomijane są w wysiłku przekroju udziały od siły poprzecznej jako, że jak piszą znawcy problemu, nie przekraczają jego 10% czego nie należy robić przy belkach krępych.
Co zaś tyczy się przekrojów niekołowych belki, pręta, to problem nie jest trudność w obliczaniu momentów i wskaźników wytrzymałości przekrojów niekołowych a rozkład naprężeń na ich powierzchni często kłopotliwy do wyrachowania.
I na koniec warto zauważyć że przekrój zginanej belki poddany jest działaniu naprężeń normalnych rozciągających / ściskających co skutkuje tym, że kryterium wytrzymałości przy rozciąganiu jest równe kryterium wytrzymałości przy zginaniu.
Proponuję rozwiązanie ścisłe i techniczne dla takiego przykładu i porównanie wyników.
W.Kr.
Załączniki
Przykład.png

novakradek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 kwie 2013, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Pomógł: 1 raz

Naprężenia zredukowane

Post autor: novakradek » 24 kwie 2013, o 12:56

Witam

Na początek Kolega, nie Koleżanka , ale rozumiem, że na tym forum znaczki płci uzupełniane są losowo, stąd ten domysł i zwątpienie.

Jeżeli chodzi o teorię prętów, to zgadzam się, że tylko w przypadku czystego zginania, jak sama nazwa wskazuje mamy do czynienia tylko ze zginaniem, w tzw. wytrzymałości złożonej należy uwzględniać pozostałe składowe naprężeń (siły działające w przekrojach).

Co do samych obliczeń naprężeń, inżynierskie obliczenia zwykle obarczane są jakimś błędem, minimalnym ale zawsze, tak samo założenia modeli niekiedy pomijają wiele czynników i to nie tylko w Wytrzymałości Materiałów.

Ciekawy przykład zadaniowy (dodałbym ze swojego punktu widzenia jeszcze siłe osiową-normalną), ale tak poza tematem to jeszcze ciekawsze są skręcane i zginane przekroje cienkościenne otwarte i zamknięte. To oczywiście z punktu widzenia problemu mówię.
Pozdrawiam
RN

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: kruszewski » 24 kwie 2013, o 14:00

Cała teoria Własowa i nie tylko Własowa. A jak dodać otwory i żebra, to już mamy widok na skalę i złożoność problemu.
Ścisłość rozwiązania omal zawsze komplikuje równania je opisujące. A tu, o własnościach tworzywa można mówić z błędem 5%. Ciekawie wyglądają ich rozkłady gęstości, odchylenia standardowe \(\displaystyle{ \sigma}\) kiedyś podawane w Kartach materiałowych.
Pozdrawiam serdecznie,
W.Kr.

novakradek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 kwie 2013, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Pomógł: 1 raz

Naprężenia zredukowane

Post autor: novakradek » 29 kwie 2013, o 20:11

Raczej chodziło mi o wykorzystanie wzorów Bredta przy czystym skręcaniu przekrojów cienkościennych otwartych. Niestety materiał na studiach jest tak ograniczany (przynajmniej na PW), że ja jeszcze miałem rozwiązania takich problemów, a koledzy z młodszych roczników już nie.

Ale to zapewne nie tylko problem Wytrzymałości Materiałów, a całego procesu nauczania...

Pozdrawiam
RN

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: kruszewski » 29 kwie 2013, o 20:54

Być może koledzy studiują "na pierwszym stopniu", inżynierskim kursie i reszta wytrzymki, cała teoria sprężystości, plastyczności i tp będzie na drugim stopniu? Tak myślę.
Pozdrawiam,
W.Kr.

novakradek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 kwie 2013, o 08:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warsaw
Pomógł: 1 raz

Naprężenia zredukowane

Post autor: novakradek » 29 kwie 2013, o 20:59

Z tego co wiem niestety nie, ponieważ na kursie II stopnia jest wytrzymałość płyt i to właściwie wszystko. Wprawdzie można z dużą dozą dokładności policzyć różne zagadnienia w programach MES, ale zawsze jakaś walidacja modeli wydaje się być niezbędna.

Nie wiem kiedy Pan kończył studia, ale niestety poziom szybuje mocno w dół.

Pozdrawiam
RN

p.s. Tak kwoli ścisłości, już skończyłem studia kilka lat temu i po prostu mój obecny promotor czasem wspomina jaki był materiał kilkadziesiąt lat temu - niestety było tego więcej.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: kruszewski » 29 kwie 2013, o 21:24

Tak, kilkadziesiąt i na kursie inżynierskim.

Ciekawe, kiedy będzie sygnał pull up ?

arpa007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 948
Rejestracja: 24 mar 2007, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 235 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: arpa007 » 5 sty 2014, o 23:02

Teoria sprężystości i plastyczności jest wciąż obecna, u nas (PP) jest wykładana na 2 stopniu dla wszystkich kierunków związanych z budową maszyn.

arturo91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 11 sie 2013, o 11:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Pomógł: 4 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: arturo91 » 26 lis 2014, o 20:40

\(\displaystyle{ \sigma_r_e_d= \sqrt {\sigma^2+3\tau^2}=\sqrt{\left(\frac{M_g}{W} \right)^2+3\left(\frac{M_s}{W_0} \right)^2}=\frac{\sqrt{M^2_g+\frac{3}{4}M_s^2}}{W}}\)

Gdy masz w zadaniu zginanie+skręcanie korzystasz z wzoru na Moment zastępczy, bo \(\displaystyle{ M_s}\) oraz \(\displaystyle{ M_g}\) praktycznie zawsze wylicza się gdzieś po drodze w zadaniu (możesz również na naprężenia redukowane, ale rzadko kiedy korzysta się w takiej sytuacji z tego wzoru, ponieważ musiałbyś obliczyć dodatkowo naprężenia, czyli więcej liczenia), natomiast gdy masz dodatkowo ścinanie (zginanie+skręcanie+ścinanie) to korzystasz z wzoru na naprężenia redukowane, bo możesz sobie dodać zwyczajnie naprężenia ścinające do naprężeń stycznych, bo oba są tego samego typu. Oto cała filozofia Podobnie mozesz dodać we wzorze na naprężenia redukowane naprężenia zginające + naprężenia rozciągające/ściskające jeśli takowe występują

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: kruszewski » 26 lis 2014, o 21:01

Ten wzór, który Kolega przytacza w poście wyżej jest słuszny tylko dla przekroju kołowego..
Nierozróżnianie naprężenia stycznego od 'skręcającego" jest powszechne. Jeżeli mówimy styczne to jest to takie naprężenie, obojętnie czym wywołane, którego wektor przynależy do płaszczyzny przekroju.
W.Kr.

arturo91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 11 sie 2013, o 11:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Pomógł: 4 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: arturo91 » 27 lis 2014, o 16:51

\(\displaystyle{ \sigma_r_e_d=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}}\)

Przypadek ten występuje na przykład w przekrojach belek zginanych i ścinanych, a także przy jednoczesnym zginaniu i skręcaniu - Siemieniec, Wolny - Wytrzymałość materiałów cz.1. Teoria i zastosowania. [str. 106]

Belka może mieć dowolny przekrój, a w szczególności prostokątny, także wzór ten jest słuszny zawsze - niezależnie od przekroju. Belką nie jest element przenoszący obciążenia wzdłuż jednej osi np. pręt (chyba, że jest to pręt zakrzywiony).

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: kruszewski » 29 lis 2014, o 16:00

Kolega Arturo91 pisze: \(\displaystyle{ "\sigma_r_e_d=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}}\). Przypadek ten występuje na przykład w przekrojach belek zginanych i ścinanych, a także przy jednoczesnym zginaniu i skręcaniu - Siemieniec, Wolny - Wytrzymałość materiałów cz.1. Teoria i zastosowania. [str. 106]"
Ten wzór jest słuszny dla hipotezy Hubera, stąd tam jest owe "\(\displaystyle{ 3\tau^2}\)".
Ale w : \(\displaystyle{ \sigma_r_e_d= \sqrt {\sigma^2+3\tau^2}=\sqrt{\left(\frac{M_g}{W} \right)^2+3\left(\frac{M_s}{W_0} \right)^2}=\frac{\sqrt{M^2_g+\frac{3}{4}M_s^2}}{W}}\)
ostatnia równość dotyczy tylko belki o przekroju okrągłym, co nieudolnie chcę wykazać poniżej.

Jak widać z tego, przytaczanego przez Kolegę "wyprowadzenia" można zauważyć, że drugi wyraz pod znakiem pierwiastka \(\displaystyle{ 3\tau^2}\) przyrównywany jest do \(\displaystyle{ 3\left( \frac{M_s}{W_o} \right)^2}\) i zauważając, że dla przekroju kołowego \(\displaystyle{ W_o=2W_x}\). By wyjść na owe \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) założył Kolega że \(\displaystyle{ W_o=2W_x}\) a ten warunek zachodzi dla przekroju kołowego. Bo dla przekroju prostokątnego naprężenia styczne, te leżące w płaszczyźnie przekroju wywołane momentem skręcającym, osiągają wartości maksymalne na dłuższych bokach tego przekroju. Zatem nie można wtedy napisać, że \(\displaystyle{ \tau_m_a_x = \frac{M_s}{\left( \frac{I_o}{\rho_m_a_x} \right) }}\). Bowiem \(\displaystyle{ \rho_m_a_x> \frac{b}{2}}\) , gdzie b jest krótszym bokiem prostokąta.
Skręcanie prętów nieokrągłych ( i nie cienkościennych) omawiane jest dla tego to właśnie jako oddzielne zagadnienie bo związane z deplanacją przekroju. Ze względu na pewne trudności rachunkowe sporządzono dla potrzeb praktycznych tablicę współczynników korelujących wyliczonych przez de Saint- Venanta, wg którego naprężenie maksymalne \(\displaystyle{ \tau_m_a_x = \frac{M_s}{ \alpha ab^2}}\) , gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest tym współczynnikiem, którego wartości podaję w tablicy:
a/b --- 1 --- 1,5 --- 1,75 --- 2 --- - 3 ---- - 4 --- -- 6 - ---- 10- ---- oo
\(\displaystyle{ \alpha}\)- 0,208 ; 0,231; 0,239 ; 0,246; 0,267; 0,282; 0,299 ; 0,313 ; 0,333

Podobnie, dla obliczenie kąta skręcenia wzór ma ostać: \(\displaystyle{ \Theta= \frac{M_s}{ \beta abG}}\)
o czym można się przekonać np. tu: str.74-80 w M.E. Niezgodziński,T. Niezgodziński , Wytrzymałość materiałów. Ale i w innych pracach i podręcznikach o tym traktujących.

W.Kr.

arturo91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 11 sie 2013, o 11:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Pomógł: 4 razy

Naprężenia zredukowane

Post autor: arturo91 » 30 lis 2014, o 16:37

Zgadzam się Po prostu dziś na studiach zagadnienie skręcania obejmuje głownie przekroje kołowe (wały) i stad takie przyzwyczajenie do pewnych zależności matematycznych

ODPOWIEDZ