[IMO 2012] Zadania

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
Awatar użytkownika
kalmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 lip 2012, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[IMO 2012] Zadania

Post autor: kalmar » 2 sie 2012, o 18:49

Zadanie 1. Punkt \(J\) jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta \(ABC\) naprzeciwko wierzchołka \(A\).
Okrąg ten jest styczny do boku \(BC\) w punkcie \(M\) oraz do prostych \(AB\) i \(AC\) odpowiednio w punktach
\(K\) i \(L\). Proste \(LM\) i \(BJ\) przecinają się w punkcie \(F\) , a proste \(KM\) i \(CJ\) przecinają się w punkcie \(G\).
Niech \(S\) będzie punktem przecięcia prostych \(AF\) i \(BC\), a \(T\) punktem przecięcia prostych \(AG\) i \(BC\).
Wykazać, że punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(ST\) .

Zadanie 2. Niech \(n\geq3\) będzie liczbą całkowitą oraz niech \(a_2,a_3,...,a_n\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, dla których \(a_2a_3...a_n=1\). Udowodnić, że:
\((1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n > n^n\)

Zadanie 3.Gra w zgadującego i kłamcę rozgrywa się pomiędzy dwoma graczami \(A\) i \(B\). Reguły
gry są zależne od dwóch całkowitych dodatnich liczb \(k\) i \(n\), które są znane obu graczom.
Na początku gracz \(A\) wybiera liczby całkowite \(x\) i \(N\) spełniające \(1 \leq x \leq N\) . Gracz \(A\) trzyma
liczbę \(x\) w tajemnicy, natomiast liczbę \(N\) przekazuje graczowi \(B\). Gracz \(B\) z kolei próbuje zdobyć
informacje o liczbie \(x\) zadając graczowi \(A\) pytania. Przed każdym pytaniem gracz \(B\) wybiera dowolny
zbiór \(S\) dodatnich liczb całkowitych, po czym pyta gracza \(A\), czy liczba \(x\) należy do zbioru \(S\). Gracz
\(B\) może zadać tyle pytań, ile chce, może także wielokrotnie wybierać ten sam zbiór \(S\). Na każde
pytanie gracza \(B\), gracz \(A\) musi natychmiast odpowiedzieć, odpowiadając tak lub nie. Może przy
tym skłamać dowolną liczbę razy, pamiętając jednak, że odpowiadając na każde \(k + 1\) kolejnych
pytań, co najmniej raz musi powiedzieć prawdę.
Po zakończeniu zadawania pytań gracz \(B\) musi podać zbiór \(X\) złożony z co najwyżej \(n\) dodatnich
liczb całkowitych. Jeśli liczba \(x\) należy do zbioru \(X\), gracz \(B\) wygrywa, w przeciwnym wypadku,
gracz \(B\) przegrywa. Dowieść, że
1. jeśli \(n \geq 2^k\) , to gracz \(B\) może zagwarantować sobie zwycięstwo,
2. dla każdej dostatecznie dużej liczby \(k\) istnieje taka liczba całkowita \(n \geq 1.99^k\) , przy której gracz \(B\) nie może zagwarantować sobie wygranej.

Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje \(f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}\), że dla dowolnych liczb całkowitych \(a,b,c\) spełniających \(a+b+c=0\) zachodzi równość:
\(f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)\)
(Symbol \(\mathbb{Z}\) oznacza zbiór liczb całkowitych)

Zadanie 5. Niech \(ABC\) będzie trójkątem, w którym \(\angle BCA = 90^{\circ}\) oraz niech \(D\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(C\). Punkt \(X\) leży wewnątrz odcinka \(CD\). Niech \(K\) będzie punktem leżącym na odcinku \(AX\), przy czym \(BK = BC\). Niech \(L\) będzie punktem leżącym na odcinku \(BX\), przy czym \(AL = AC\). Punkt \(M\) jest punktem przecięcia prostych \(AL\) i \(BK\).
Wykazać, że \(MK = ML\).

Zadanie 6. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite \(n\), dla których istnieją nieujemne liczby całkowite \(a_1,a_2,...,a_n\) spełniające:
\(\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+...+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+...+\frac{n}{3^{a_n}}=1\)

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[IMO 2012] Zadania

Post autor: Funktor » 2 sie 2012, o 19:23

poza 3,4,6 które wydają mi się mocno harde, to chyba do zrobienia, może któreś skrobnę i wrzucę jak będę miał trochę czasu. Może wypowiedzą się tegoroczni uczestnicy ?

Awatar użytkownika
kalmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 lip 2012, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[IMO 2012] Zadania

Post autor: kalmar » 2 sie 2012, o 22:45

Zadanie 2.
Ukryta treść:    

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice

[IMO 2012] Zadania

Post autor: marcin_smu » 3 sie 2012, o 03:21

4:    

emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[IMO 2012] Zadania

Post autor: emil99 » 14 gru 2013, o 23:46

Zadanie 1
Ukryta treść:    
Zadanie 2
Ukryta treść:    
Zadanie 3
Ukryta treść:    
Zadanie 4
Ukryta treść:    
Zadanie 5
Ukryta treść:    
Zadanie 6
Ukryta treść:    
Komentarz do zadań
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[IMO 2012] Zadania

Post autor: Swistak » 15 gru 2013, o 14:01

Wtf? Mógłbyś napisać konkretne rozwiązania do 2. i 3.? Indukcja zwykła czy wsteczna moim zdaniem tu nie ma prawa działać, bo założenie się kopsa i się dzieją rzeczy, nad którymi nie za bardzo da się zapanować. A co do 3. to widziałem wiele osób rozwiązujących to zadanie i nikt nigdy nie miał najmniejszego nawiązania do jakichkolwiek grafów, bardzo wątpię, aby miały one jakiekolwiek zastosowanie w tym zadaniu. A, no i z ciekawości bym spytał o odpowiedź do zadania 4. . Nie rozwiązanie, bo nie będzie mi się chciało go czytać, ale jedynie te funkcje, które w końcowym efekcie wychodziły.
No i dodajmy do tego, że wrzucanie "rozwiązań" złożonych z 2 słów zawsze uważałem za bucerskie, nic nie wnosi do tematu tylko ma wydźwięk "patrzcie jaki jestem zarąbisty" .

ODPOWIEDZ