Matematyka.pl

Mam pytanie odnoście generatorów przestrzeni. Czy jeśli mamy daną przestrzeń i podane w niej 2 wektory, to wektory te generują tą przestrzeń jeżeli są liniowo niezależne?


A jeśli mamy podane 3 wektory i tylko 2 z nich są liniowo niezależne, to tylko te 2 wektory generują przestrzeń, czy wszystkie 3?

Zależy od wymiaru tej przestrzeni.

No dobrze, w takim razie jak wyznaczamy generatory? Generatorami są tylko te wektory które są liniowo niezależne?

Generatorami mogą być dowolne wektory.

No nie dowolne, bo muszą być liniowo niezależne.

Nie muszą

Jak to nie muszą? Możesz podać jakiś przykład generatorów przestrzeni, które nie są liniowo niezależne?

Przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\); wektory \(\displaystyle{ (0,1),(1,0),(1410,1410)}\) generują tę przestrzeń.

No dobrze, ale przecież wektory, które podałeś są liniowo niezależne.

patricia__88, 3 wektory w 2 wymiarowej przestrzeni są liniowo niezależne?

A nie są? Przecież są dwie zmienne, więc wektorów może być chyba dowolna ilość? A jeśli nie, to jak to sprawdzić, że podane wektory jednak są liniowo zależne?

Próbowałbym z definicji liniowej niezależności.

No dobrze, więc
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=0\\x=0\\1410x+1410y=0\end{cases}}\)
A z tego wynika, że \(\displaystyle{ x=0, \ y=0}\)
Wiec wektory te są liniowo niezależne

patricia__88, co to ma niby być?

No tak wektor \(\displaystyle{ [1410,1410]=1410[0,1]+1410[1,0]}\) zatem nie są liniowo niezależne, ale przecież chyba 3 wektory nie mogą generować dwuwymiarowej przestrzeni.