Matematyka.pl

Jeżeli wiemy, że z aksjomatu regularności wynika, że nie istnieje zbiór, który byłby swoim elementem i udowodnimy, że nie istnieje zbiór \(\displaystyle{ S=\{X:X \not \in X\}}\), to czy od razu jest wiadomym, że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów? Jeżeli tak, to czy można uznać antynomię Russella i paradoks zbioru wszystkich zbiorów za problemy równoważne?

tak-- 30 lip 2012, o 00:56 --Możesz sobie o tym przeczytac np w " wykłady ze wstępu do matematyki " Guzicki , Zakrzewski.

everglade pisze:Jeżeli wiemy, że z aksjomatu regularności wynika, że nie istnieje zbiór, który byłby swoim elementem i udowodnimy, że nie istnieje zbiór \(\displaystyle{ S=\{X:X \not \in X\}}\), to czy od razu jest wiadomym, że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów?

Zauważ, że do \(\displaystyle{ S}\) należy każdy zbiór (bo w myśl AR żaden zbiór nie jest swoim elementem). \(\displaystyle{ S}\) nie jest zbiorem oczywiście, a klasą właściwą.

Jeżeli tak, to czy można uznać antynomię Russella i paradoks zbioru wszystkich zbiorów za problemy równoważne?

Tak. Zgodnie z AR \(\displaystyle{ S}\) zawiera wszystkie zbiory. Gdyby zatem \(\displaystyle{ S}\) był zbiorem, to by znaczyło, że istnieje zbiór wszystkich zbiorów (byłby nim \(\displaystyle{ S}\)). Z drugiej strony, gdyby istniał zbiór wszystkich zbiorów, to z Aksjomatu Wycinania \(\displaystyle{ S}\) byłby zbiorem.