Matematyka.pl

O czworokącie wypukłym ABMC wiadomo, że \(\displaystyle{ \angle BAM = 30^\circ}\), \(\displaystyle{ \angle ACM = 150^\circ}\), oraz |AB|=|BC|. Udowodnić, że odcinek AM leży na dwusiecznej \(\displaystyle{ \angle BMC}\).

zakreślmy okrąg o środku \(\displaystyle{ B}\) i promieniu \(\displaystyle{ BA}\) i niech on przecina prostą \(\displaystyle{ CM}\) w punktach \(\displaystyle{ C,D}\) (one mogą się pokryć, wtedy okrąg jest styczny do tej prostej)

przeliczamy kąty i wychodzi że \(\displaystyle{ \angle DBA = \frac \pi 3}\) a zatem trójkąt \(\displaystyle{ \Delta DBA}\) jest równoboczny a zatem \(\displaystyle{ AD = AB}\) i skoro \(\displaystyle{ \angle BAM = \frac \pi 6}\) to \(\displaystyle{ AM}\) jest symetralną odcinka \(\displaystyle{ BD}\), zatem \(\displaystyle{ DMBA}\) jest deltoidem, czyli \(\displaystyle{ AM}\) zawiera się w dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ \angle BMC}\)

Dziękuję