[Planimetria] 3 zadania z Pompego
: 23 lip 2012, o 14:26
1) Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ C}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\). Znając długości boków trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) obliczyć długość odcinka \(\displaystyle{ PQ}\).
2) Dany jest równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\). Pewna prosta przecina odcinki \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ AD}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ F}\), \(\displaystyle{ G}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ \frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AG}=\frac{AC}{AF}}\).
3) Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF, w którym \(\displaystyle{ AB || DE}\), \(\displaystyle{ BC || EF}\) i \(\displaystyle{ CD || AF}\). Udowodnić, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta są współpękowe.
2) Dany jest równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\). Pewna prosta przecina odcinki \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ AD}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ F}\), \(\displaystyle{ G}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ \frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AG}=\frac{AC}{AF}}\).
3) Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF, w którym \(\displaystyle{ AB || DE}\), \(\displaystyle{ BC || EF}\) i \(\displaystyle{ CD || AF}\). Udowodnić, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta są współpękowe.