[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III
: 22 lip 2012, o 16:25
1. Na płaszczyźnie umieszczone są koła o rozłącznych wnętrzach, i każde koło jest styczne do co najmniej sześciu spośród pozostałych kół. Udowodnić, że kół tych jest nieskończenie wiele. Czy istnieje na płaszczyźnie skończona ilość kół o rozłącznych wnętrzach , z których każde jest styczne do pewnych pięciu spośród pozostałych kół ?
2. Dane są liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, …, a_n}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_k}\) gdy \(\displaystyle{ 1 < k < n}\) oraz \(\displaystyle{ a_1 = a_n =0}\). Wykazać, że wszystkie \(\displaystyle{ a_j}\) są niedodatnie.
3. Udowodnić, że łamana zamknięta o pięciu bokach, której żadne trzy wierzchołki nie leżą na jednej prostej może przecinać się sama ze sobą w jednym, dwóch, trzech lub pięciu punktach, ale nie może przecinać się ze sobą w czterech punktach.
4. Niech \(\displaystyle{ f : (0, \infty) \mapsto R}\) jest funkcją wypukła i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) =0}\). Niech \(\displaystyle{ g(x)= \frac{f(x)}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x >0}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją niemalejącą.
5. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) nazywa się użyteczną, jeśli dowolna liczba \(\displaystyle{ m< n}\) jest sumą parami różnych dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\) (np. \(\displaystyle{ 6}\) jest użyteczna, ale \(\displaystyle{ 14}\) nie jest ). Wykazać, że iloczyn dwóch liczb użytecznych też jest liczbą użyteczną.
6. Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą czterocyfrową to niech \(\displaystyle{ R(N)}\) oznacza „\(\displaystyle{ N}\) od tyłu” (np. \(\displaystyle{ R(3275)=5723}\)). Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ N}\) takie, że \(\displaystyle{ R(N)=4N+3}\)
7. Na okręgu ułożono \(\displaystyle{ n \geq 5}\) liczb tak, że suma każdych trzech kolejnych jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3}\) oraz suma każdych pięciu kolejnych liczb jest nie większa niż \(\displaystyle{ 5}\). Wykazać, że suma wszystkich liczb przyjmuje wartość maksymalną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie są równe \(\displaystyle{ 1}\).
8. Liczby rzeczywiste są takie, że \(\displaystyle{ a+\frac{1}{b}= b+\frac{1}{c}= c+\frac{1}{a}= p}\) przy czym wśród liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) istnieją dwie różne . Znależć wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ p}\) oraz wykazać że \(\displaystyle{ abc + p =0}\)
9. Udowodnić, że układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} [x]^2 + [y]= 0 \\ 3x+y = 2 \end {cases}}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań i dla wszystkich jego rozwiązań zachodzi
\(\displaystyle{ 0 < x< 4}\) i \(\displaystyle{ -9 \leq y \leq 1}\)
10. Pewna sieć lotnicza ma tę własność, że z każdego lotniska można przelecieć na każde inne (przesiadając się, być może wielokrotnie). Udowodnić, że pewne lotnisko można wycofać z eksploatacji (i zawiesić wszystkie z nim połączenia) nie tracąc tej własności.
11. Udowodnić (bez trygonometrii !!!) iż jeśli w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\), w którym kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60^{o}}\) to jego pole \(\displaystyle{ S}\) wyraża wzór \(\displaystyle{ S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 – (b-c)^2 )}\), zaś jeśli kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120^{o}}\) to \(\displaystyle{ S=\frac{\sqrt{3}}{12}(a^2 – (b-c)^2 )}\),
12. Wielomiany \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) (oba stopnia \(\displaystyle{ \geq 1}\)) przyjmują wartości całkowite w tych samych punktach, tj. \(\displaystyle{ (U(x) \in Z) \Longleftrightarrow (V(x) \in Z)}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ U -V}\) albo \(\displaystyle{ U+V}\) jest wielomianem stopnia zero.
13. Dane są dwa równania: (*) i (**). Udowodnić, że (*) ma nie mniej rozwiązań niż (**)
w czwórkach \(\displaystyle{ (x, y, z, w)}\) liczb naturalnych, takich , że \(\displaystyle{ x, y, z, w < N}\)
(\(\displaystyle{ N}\) ustalona liczba naturalna).
(*) \(\displaystyle{ x^{19} \ – \ y^{19}= z^{17} \ – \ w^{17}}\)
(**) \(\displaystyle{ x^{19} \ – \ y^{19}= z^{17} \ – \ w^{17} +1}\)
14. Niech \(\displaystyle{ q_n}\) będzie liczbą elementów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, …, 2^n \}}\) zaczynających się cyfrą \(\displaystyle{ 1}\) (w systemie dziesiętnym). Wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{q_n}{n}}\) jest zbieżny i obliczyć jego granicę.
15. W pewnym turnieju (każdy gra z każdym i nie ma remisów) wzięło udział \(\displaystyle{ 16}\) uczestników. Podać przykład jak mógł wyglądać przebieg takiego turnieju, w wyniku którego dowolnych \(\displaystyle{ 10}\) zawodników można posadzić „w okręgu” tak, by każdy z nich miał po lewej swej stronie sąsiada z którym wygrał.
16. Czy istnieje podzbiór płaszczyzny, którego rzut prostopadły na dowolną prostą jest sumą
a) dwóch
b) trzech
rozłącznych odcinków otwartych (tj. bez końców) ?
17. Niech określenie „\(\displaystyle{ m}\) dokładnie dzieli \(\displaystyle{ n}\)” (co zapisuje się \(\displaystyle{ m | | n}\)) oznacza, że: \(\displaystyle{ m}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ m \perp \frac{n}{m}}\)
(np. \(\displaystyle{ 6}\) dokładnie dzieli \(\displaystyle{ 150}\) ale „\(\displaystyle{ 6}\) dokładnie nie dzieli \(\displaystyle{ 84}\) )
a) Czy gdy \(\displaystyle{ m , n >0}\) to \(\displaystyle{ NWD(m, n) | | m}\) albo to \(\displaystyle{ NWD(m, n) | | n}\) ?
b) Czy z tego ,że \(\displaystyle{ k | | n}\) i \(\displaystyle{ m | | n}\) wynika, że \(\displaystyle{ km | | n}\) ?
c) Czy z tego ,że \(\displaystyle{ k | | n}\) i \(\displaystyle{ n | | m}\) wynika, że \(\displaystyle{ k | | m}\) ?
Uwaga: zapis \(\displaystyle{ m \perp n}\) oznacza, że liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze.
18. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Wyznaczyć sumę wszystkich cyfr występujących w zapisie dziesiętnym liczb:
\(\displaystyle{ 1, 2, … \ 10^n -2, \ 10^n -1}\)
19. a) Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+y)3^{y-x}= \frac{5}{27} \\ 3 log_5 (x+y)= x-y. \end {cases}}\)
b) Określić ile rozwiązań w liczbach rzeczywistych ma równanie
(i następnie podać je wszystkie):
\(\displaystyle{ (1+x)^4= 2(1+x^4).}\)
20. a) Rozstrzygnąć, czy istnieją różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^{y^{x}}= y^{x^{y}}}\) ?
b) czy istnieją parami różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^{y^{z}}= z^{y^{x}}}\) ?
21. Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków jest wpisany w okrąg i ma wszystkie kąty równe, to jest on foremny
22. Liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są całkowite. Udowodnić, że równanie:
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=y^2+cy+d}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ (x, y)}\) w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a^2-4b=c^2-4d}\). Wskazać je jawnie w przykładzie \(\displaystyle{ (a, b, c, d)=(7, 11, 3, 1)}\).
Podać przykład czwórki \(\displaystyle{ (a, b, c, d)}\) dla których to równanie nie ma rozwiązań (całkowitoliczbowych).
23. Korzystając z własności funkcji \(\displaystyle{ F(x)= \frac{cos ( x)}{\sqrt[3]{sin (x)}} + x}\) rozstrzygnąć która z liczb jest większa:
\(\displaystyle{ A= cos(3)\sqrt[3]{sin (2)} - cos(2)\sqrt[3]{sin ( 3)}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{sin (2) \ sin (3)}}\) ?
24. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a}\) dla których układ:
\(\displaystyle{ x+y = x^3+y^3=x^5+y^5 =a}\)
ma realizację (w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y}\)) .
25. Na niektórych polach szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ n \times n}\) ustawiono \(\displaystyle{ 2n}\) pionków. Wykazać, że znajdą się wśród nich cztery takie, które utworzą równoległobok.
26. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem (skończonym) punktów na płaszczyźnie, takim że dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B \in S}\) na prostej \(\displaystyle{ AB}\) leży pewien punkt \(\displaystyle{ C}\) różny od \(\displaystyle{ A}\) i od \(\displaystyle{ B}\). Udowodnić, że wszystkie punkty zbioru \(\displaystyle{ S}\) są współliniowe.
[MIX]
2. Dane są liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, …, a_n}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_k}\) gdy \(\displaystyle{ 1 < k < n}\) oraz \(\displaystyle{ a_1 = a_n =0}\). Wykazać, że wszystkie \(\displaystyle{ a_j}\) są niedodatnie.
3. Udowodnić, że łamana zamknięta o pięciu bokach, której żadne trzy wierzchołki nie leżą na jednej prostej może przecinać się sama ze sobą w jednym, dwóch, trzech lub pięciu punktach, ale nie może przecinać się ze sobą w czterech punktach.
4. Niech \(\displaystyle{ f : (0, \infty) \mapsto R}\) jest funkcją wypukła i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) =0}\). Niech \(\displaystyle{ g(x)= \frac{f(x)}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x >0}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją niemalejącą.
5. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) nazywa się użyteczną, jeśli dowolna liczba \(\displaystyle{ m< n}\) jest sumą parami różnych dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\) (np. \(\displaystyle{ 6}\) jest użyteczna, ale \(\displaystyle{ 14}\) nie jest ). Wykazać, że iloczyn dwóch liczb użytecznych też jest liczbą użyteczną.
6. Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą czterocyfrową to niech \(\displaystyle{ R(N)}\) oznacza „\(\displaystyle{ N}\) od tyłu” (np. \(\displaystyle{ R(3275)=5723}\)). Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ N}\) takie, że \(\displaystyle{ R(N)=4N+3}\)
7. Na okręgu ułożono \(\displaystyle{ n \geq 5}\) liczb tak, że suma każdych trzech kolejnych jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3}\) oraz suma każdych pięciu kolejnych liczb jest nie większa niż \(\displaystyle{ 5}\). Wykazać, że suma wszystkich liczb przyjmuje wartość maksymalną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie są równe \(\displaystyle{ 1}\).
8. Liczby rzeczywiste są takie, że \(\displaystyle{ a+\frac{1}{b}= b+\frac{1}{c}= c+\frac{1}{a}= p}\) przy czym wśród liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) istnieją dwie różne . Znależć wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ p}\) oraz wykazać że \(\displaystyle{ abc + p =0}\)
9. Udowodnić, że układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} [x]^2 + [y]= 0 \\ 3x+y = 2 \end {cases}}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań i dla wszystkich jego rozwiązań zachodzi
\(\displaystyle{ 0 < x< 4}\) i \(\displaystyle{ -9 \leq y \leq 1}\)
10. Pewna sieć lotnicza ma tę własność, że z każdego lotniska można przelecieć na każde inne (przesiadając się, być może wielokrotnie). Udowodnić, że pewne lotnisko można wycofać z eksploatacji (i zawiesić wszystkie z nim połączenia) nie tracąc tej własności.
11. Udowodnić (bez trygonometrii !!!) iż jeśli w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\), w którym kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60^{o}}\) to jego pole \(\displaystyle{ S}\) wyraża wzór \(\displaystyle{ S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 – (b-c)^2 )}\), zaś jeśli kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120^{o}}\) to \(\displaystyle{ S=\frac{\sqrt{3}}{12}(a^2 – (b-c)^2 )}\),
12. Wielomiany \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) (oba stopnia \(\displaystyle{ \geq 1}\)) przyjmują wartości całkowite w tych samych punktach, tj. \(\displaystyle{ (U(x) \in Z) \Longleftrightarrow (V(x) \in Z)}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ U -V}\) albo \(\displaystyle{ U+V}\) jest wielomianem stopnia zero.
13. Dane są dwa równania: (*) i (**). Udowodnić, że (*) ma nie mniej rozwiązań niż (**)
w czwórkach \(\displaystyle{ (x, y, z, w)}\) liczb naturalnych, takich , że \(\displaystyle{ x, y, z, w < N}\)
(\(\displaystyle{ N}\) ustalona liczba naturalna).
(*) \(\displaystyle{ x^{19} \ – \ y^{19}= z^{17} \ – \ w^{17}}\)
(**) \(\displaystyle{ x^{19} \ – \ y^{19}= z^{17} \ – \ w^{17} +1}\)
14. Niech \(\displaystyle{ q_n}\) będzie liczbą elementów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, …, 2^n \}}\) zaczynających się cyfrą \(\displaystyle{ 1}\) (w systemie dziesiętnym). Wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{q_n}{n}}\) jest zbieżny i obliczyć jego granicę.
15. W pewnym turnieju (każdy gra z każdym i nie ma remisów) wzięło udział \(\displaystyle{ 16}\) uczestników. Podać przykład jak mógł wyglądać przebieg takiego turnieju, w wyniku którego dowolnych \(\displaystyle{ 10}\) zawodników można posadzić „w okręgu” tak, by każdy z nich miał po lewej swej stronie sąsiada z którym wygrał.
16. Czy istnieje podzbiór płaszczyzny, którego rzut prostopadły na dowolną prostą jest sumą
a) dwóch
b) trzech
rozłącznych odcinków otwartych (tj. bez końców) ?
17. Niech określenie „\(\displaystyle{ m}\) dokładnie dzieli \(\displaystyle{ n}\)” (co zapisuje się \(\displaystyle{ m | | n}\)) oznacza, że: \(\displaystyle{ m}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ m \perp \frac{n}{m}}\)
(np. \(\displaystyle{ 6}\) dokładnie dzieli \(\displaystyle{ 150}\) ale „\(\displaystyle{ 6}\) dokładnie nie dzieli \(\displaystyle{ 84}\) )
a) Czy gdy \(\displaystyle{ m , n >0}\) to \(\displaystyle{ NWD(m, n) | | m}\) albo to \(\displaystyle{ NWD(m, n) | | n}\) ?
b) Czy z tego ,że \(\displaystyle{ k | | n}\) i \(\displaystyle{ m | | n}\) wynika, że \(\displaystyle{ km | | n}\) ?
c) Czy z tego ,że \(\displaystyle{ k | | n}\) i \(\displaystyle{ n | | m}\) wynika, że \(\displaystyle{ k | | m}\) ?
Uwaga: zapis \(\displaystyle{ m \perp n}\) oznacza, że liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze.
18. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Wyznaczyć sumę wszystkich cyfr występujących w zapisie dziesiętnym liczb:
\(\displaystyle{ 1, 2, … \ 10^n -2, \ 10^n -1}\)
19. a) Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+y)3^{y-x}= \frac{5}{27} \\ 3 log_5 (x+y)= x-y. \end {cases}}\)
b) Określić ile rozwiązań w liczbach rzeczywistych ma równanie
(i następnie podać je wszystkie):
\(\displaystyle{ (1+x)^4= 2(1+x^4).}\)
20. a) Rozstrzygnąć, czy istnieją różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^{y^{x}}= y^{x^{y}}}\) ?
b) czy istnieją parami różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^{y^{z}}= z^{y^{x}}}\) ?
21. Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków jest wpisany w okrąg i ma wszystkie kąty równe, to jest on foremny
22. Liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są całkowite. Udowodnić, że równanie:
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=y^2+cy+d}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ (x, y)}\) w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a^2-4b=c^2-4d}\). Wskazać je jawnie w przykładzie \(\displaystyle{ (a, b, c, d)=(7, 11, 3, 1)}\).
Podać przykład czwórki \(\displaystyle{ (a, b, c, d)}\) dla których to równanie nie ma rozwiązań (całkowitoliczbowych).
23. Korzystając z własności funkcji \(\displaystyle{ F(x)= \frac{cos ( x)}{\sqrt[3]{sin (x)}} + x}\) rozstrzygnąć która z liczb jest większa:
\(\displaystyle{ A= cos(3)\sqrt[3]{sin (2)} - cos(2)\sqrt[3]{sin ( 3)}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{sin (2) \ sin (3)}}\) ?
24. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a}\) dla których układ:
\(\displaystyle{ x+y = x^3+y^3=x^5+y^5 =a}\)
ma realizację (w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y}\)) .
25. Na niektórych polach szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ n \times n}\) ustawiono \(\displaystyle{ 2n}\) pionków. Wykazać, że znajdą się wśród nich cztery takie, które utworzą równoległobok.
26. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem (skończonym) punktów na płaszczyźnie, takim że dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B \in S}\) na prostej \(\displaystyle{ AB}\) leży pewien punkt \(\displaystyle{ C}\) różny od \(\displaystyle{ A}\) i od \(\displaystyle{ B}\). Udowodnić, że wszystkie punkty zbioru \(\displaystyle{ S}\) są współliniowe.
[MIX]