Matematyka.pl

\(\displaystyle{ y''=1-y'^{2}}\)
\(\displaystyle{ y'=p(x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{dp}{dx}=1-p^{2}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dp}{1-p^{2}}= \int dx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln |\frac{1+p}{1-p}|=x+C}\)

i tu się zgubiłem. Mam wyznaczyć y, ale tu mam kłopot, bo \(\displaystyle{ p=\frac{dy}{dx}}\) a nie wiem jak wydobyć to...
HELP

Mamy:
\(\displaystyle{ \ln |\frac{1+p}{1-p}|=2x+2C\\
|\frac{1+p}{1-p}|=e^{2x+2C}\\
\frac{1+p}{1-p}=\pm e^{2C}\cdot e^{2x}}\)
Traktujemy teraz \(\displaystyle{ \pm e^{2C}}\) jako nową stałą - nazwijmy ją również \(\displaystyle{ C}\):
\(\displaystyle{ \frac{1+p}{1-p}=C e^{2x}\\
1+p = Ce^{2x}-Cpe^{2x}\\
p(1+Ce^{2x})=Ce^{2x}-1\\
p=\frac{Ce^{2x}-1}{Ce^{2x}+1}}\)

Q.

a jak to można scałkować?

Podstaw \(\displaystyle{ Ce^{2x}=t}\).

Q.