Matematyka.pl

mam 3 punkty \(\displaystyle{ A(1,0,2) \; B(3,2,4) \; C(-1,2,2)}\)
Zadanie wyznaczyć równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\) równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\), pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
proszę o pomoc od czego zacząć

Od tego, jak można zapisać równanie prostej czy płaszczyzny oraz do przypomnienia sobie wzoru na pole trójkąta o zadanych wierzchołkach.

Podpowiedź 1.:
Prostą \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) można wygodnie zadać jako sumę współrzędnych punktu \(\displaystyle{ A}\) i wielokrotności wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\).

Podpowiedź 2.:
Płaszczyznę \(\displaystyle{ ABC}\) można wygodnie zadać jako sumę współrzędnych jednego jej punktu i kombinacji liniowych wektorów ją rozpinających.

znalazłem przykład i na podstawie jego wychodzi mi że powinienem policzyć dwa wektory AB i AC odejmując od punktu B i C punkt A
wyszło takie coś

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) = \(\displaystyle{ [4,2,2]}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) = \(\displaystyle{ [0,2,0]}\)

następnie obliczam iloczyn wektorowy

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) X \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&2&2\\0&2&0\end{array}\right|}\) = \(\displaystyle{ [-4,0,8]}\)
następnie oblcizam pole trójkąta równe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) X \(\displaystyle{ \sqrt{-4^{2}+0^{2}+8^{2}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) X \(\displaystyle{ \sqrt{80}}\)
czy to jest dobrze ??

odnośnie podpowiedzi Althorionie czy mógłbyś inaczej to powiedzieć bo właśnie szukając tego co napisałeś trafiłem na rozwiązanie tego co właśnie napisałem

Źle wyznaczyłeś pierwsze współrzędne w obu wektorach.

Co do pozostałych, to jak pisałem:
a) prosta:
Wystarczy podać sumę współrzędnych punktu \(\displaystyle{ A}\) i wielokrotności wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\), czyli:
\(\displaystyle{ l: A + \lambda \overrightarrow{AB} = \ldots}\)
b) płaszczyzna:
\(\displaystyle{ \Pi : A + \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} = \ldots}\)

powiedz co tam jest źle wyznaczone bo patrzę na skrypt Pani doktor z Politechniki Świętokrzyskiej i tak właśnie zrobiła ale nie wiem może jest błąd
ona po prostu odejmuje od współrzędnych punktu B współrzędne punktu A i ja tak samo zrobiłem

Edycja: rzeczywiście źle wyznaczyłem przepraszam za pomyłkę

-- 3 lip 2012, o 18:11 --

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) = \(\displaystyle{ [2,2,2]}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) = \(\displaystyle{ [-2,2,0]}\)

następnie obliczam iloczyn wektorowy

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) X \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&2&2\\-2&2&0\end{array}\right|}\) = \(\displaystyle{ [0,-8,8]}\)
następnie oblcizam pole trójkąta równe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) X \(\displaystyle{ \sqrt{0^{2}+-8^{2}+8^{2}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) X \(\displaystyle{ \sqrt{128}}\)
czy teraz jest dobrze ??

Tak, jest OK.

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&2&2\end{array}\right|}\) mój punkt A
+
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&0&2\end{array}\right|}\) mój wektor AB
=
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&0&4\end{array}\right]}\) i to są współrzędne mojej prostej ??

dalej nie rozumiem co piszesz o płaszczyźnie

Nie. To ma być krotność wektora. Zapis wygląda tak:
\(\displaystyle{ l: A + \lambda \overrightarrow{AB} = (1; 0; 2) + \lambda [2; 2; 2]}\)
Co, jeśli chcesz, możesz przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ l : \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 0 + 2\lambda \\ z = 2 + 2\lambda\end{cases}}\)
I analogicznie dla płaszczyzny (tylko tam będą dwa parametry).