Matematyka.pl

Witam. Proszę o pomoc w tym zadaniu:

Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f(x,y) = \arcsin( x^{2} + y^{2} -1) + \frac{1}{x}}\). Zbiór \(\displaystyle{ D}\)

(a) jest/nie jest ograniczony, bo ...
(b) jest/nie jest spójny, bo ...

Wiadomo, że trzeba będzie narysować ten zbiór \(\displaystyle{ D}\)... Ale jak rozpoznać czy jest on spójny/ograniczony?

Jaki zbiór opisują pary liczb \(\displaystyle{ (x,y)\in\mathbb{R}^2}\), dla których wyrażenie \(\displaystyle{ \arcsin(x^2+y^2-1)}\) ma sens liczbowy?
Usuń z tego zbioru oś odciętych, a otrzymasz zbiór \(\displaystyle{ D}\).

Zarówno spójność, jak i ograniczoność zbioru można rozstrzygnąć na podstawie sporządzonego rysunku. Oczywiście wypada uzupełnić obliczeniami odpowiednie stwierdzenia powyższych faktów.

Masz na myśli te warunki?

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} \ge 0 \wedge x^{2} + y^{2} \le 2 \wedge x \neq 0}\)

Tak, dokładnie o te warunki mi chodziło.

Czyli ten zbiór to będzie koło o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i środku w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)ale bez prostej \(\displaystyle{ x=0}\). Nadal jednak nie wiem na jakiej podstawie można określić czy ten zbiór jest ograniczony/spójny...

To po kolei:
1. Co oznacza, że zbiór jest ograniczony ? Z definicji nam to wynika.

Tu chodzi o to, że istnieje pewna kula taka, że zbiór \(\displaystyle{ D}\) zawiera się w tej kuli?

Tak. Czy tutaj takowa istnieje ?

Co do spójności - narysuj sobie ten zbiór i przypatrz się uważnie definicji spójności.

Czyli wg mnie ten zbiór jest ograniczony, bo istnieje pewna kula taka, że zbiór \(\displaystyle{ D}\) należy do tej kuli oraz zbiór nie jest spójny, bo nie można połączyć dwóch dowolnych punktów tego zbioru krzywą zawartą w tym zbiorze?

Dobrze. Można jeszcze podać przykład takiej kuli.

Wielkie dzięki za pomoc.