Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a_{1} =73, a_{2} =773, a_{3} =7773, a _{4} =77773, \ldots}\)
Jaka jest reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 1024}\) liczby \(\displaystyle{ a_{1000} +a_{1001} +a_{1002} +\ldots +a_{2012}}\)?

Począwszy od trzeciego wyrazu ciągu zapisanego binarnie ostatnia czwórka ma postać 1101. 1024 binarnie to 100 0000 0000. Może w tym kierunku należałoby pokombinować (dzielenie binarne)?

Można policzyć, że \(\displaystyle{ a_9\equiv 109\pmod{1024}}\). Następnie

\(\displaystyle{ a_n\equiv 109\pmod{1024}\Rightarrow a_{n+1}=10a_n+43\equiv1090+43\equiv109\pmod{1024}}\)

\(\displaystyle{ 1024=2^{10}}\)
\(\displaystyle{ 1024|10^{10}}\)
Stąd dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 10}\) mamy \(\displaystyle{ a _{n} \equiv a _{9} mod 1024}\)
Myślę że ta wskazówka wystarczy i mam nadzieję że się nigdzie nie pomyliłem.