Strona 1 z 1
rownanie zespolone
: 27 cze 2012, o 17:15
autor: mike_btls
w jaki sposob rozwiazac rownanie:
\(\displaystyle{ (\frac{z-i}{z+i})^4=1}\)?
rownanie zespolone
: 27 cze 2012, o 17:24
autor: silicium2002
\(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)
i pierwiastek 4 stopnia
\(\displaystyle{ |z-i|=|z+i| \Rightarrow z \left\{ -1,0,1\right\}}\)
rownanie zespolone
: 27 cze 2012, o 18:34
autor: Qń
silicium2002 pisze:\(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)
i pierwiastek 4 stopnia
\(\displaystyle{ |z-i|=|z+i| \Rightarrow z \left\{ -1,0,1\right\}}\)
Nie pierwiastek czwartego stopnia, tylko użycie faktu, że jeśli
\(\displaystyle{ z^n=u^n}\), to
\(\displaystyle{ |z|=|u|}\).
Ponadto równość
\(\displaystyle{ |z-i|=|z+i|}\) spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, więc wniosek, że
\(\displaystyle{ z\in \{-1,0,1\}}\) jest co najmniej przedwczesny.
Prościej jest na przykład tak:
\(\displaystyle{ (z+i)^4-(z-i)^4= \\ = ((z+i)^2- (z-i)^2)((z+i)^2+ (z-i)^2)= \\ =8zi(z^2+i^2)= 8iz(z-1)(z+1)}\)
więc nasze równanie to:
\(\displaystyle{ 8iz(z-1)(z+1)=0}\)
Można też skorzystać z tego, że
\(\displaystyle{ \frac{z-i}{z+i}}\) musi być jednym z pierwiastków czwartego stopnia z jedynki (i łatwo widać, że musi być tym różnym od jedynki).
Q.