Matematyka.pl

Jaka jest pochodna:

\(\displaystyle{ f(x)=(\ln \sin x)}\)
Dzięki z góry

Zrób to ze wzoru na pochodną funkcji złożonej. znajdziesz w każdych tablicach.
Pochodna z \(\displaystyle{ \ln x}\) i \(\displaystyle{ \sin x}\) też jest w tablicach.

Danke schön.

agulka1987 pisze:\(\displaystyle{ f'(x)=(\ln \sin x)' \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \ctg x}\)

wynik poprawny, ale to nie jest prawda.

Piszesz: \(\displaystyle{ f'(x)=(\ln \sin x)' \cdot (\sin x)'x}\)

ale przecież: \(\displaystyle{ f(x)=\ln \sin x \Rightarrow f'(x)=(\ln \sin x)'}\)

Poprawnie należy to zrobić tak\(\displaystyle{ f(x) = h(g(x))=\ln \sin x}\), gdzie \(\displaystyle{ h(x)=\ln x}\) i \(\displaystyle{ g(x)=\sin x}\)

Wtedy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:

\(\displaystyle{ g'(h(x))=g'(x) \cdot h'(x)}\)

Stąd: \(\displaystyle{ f'(x)=g'(h(x)=g'(x) \cdot h'(x)=\ln '(\sin x) \cdot (\sin x)'= \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \ctg x}\)

a więc analogicznie:

\(\displaystyle{ f(x)=(\ln \sin 5x)}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=5 \cos 5x \cdot \frac{1}{\sin 5x}}\) czy tak poprawnie jest?

silicium2002 pisze:

agulka1987 pisze:\(\displaystyle{ f'(x)=(\ln \sin x)' \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \ctg x}\)

wynik poprawny, ale to nie jest prawda.

Nie tyle nieprawda, co nonszalancki zapis. Formalnie symbol pochodnej powinien się odnosić do jakiejś funkcji a nie do liczby. W tym wypadku akurat można to dobrze zapisać:
\(\displaystyle{ f'(x)=\ln'( \sin x) \cdot \sin' x.}\)

-- 27 cze 2012, o 17:11 --

shakurx pisze: \(\displaystyle{ f(x)=(\ln \sin 5x)}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=5 \cos 5x \cdot \frac{1}{\sin 5x}}\) czy tak poprawnie jest?

Tak, to jest poprawne.