Matematyka.pl

Czy domknięcie kuli otwartej musi być równe kuli domkniętej?

Tak. Załóż, że masz punkt ze sfery, który nie jest domknięciu kuli. Wóczas jedno odległość od domknięcia kuli byłaby dodatnia, a to oznacza, że...

Domyślam się, że chodzi o sprawdzenie równości:

\(\displaystyle{ cl\{x\in X:d(x,x_0)<r\}=\{x\in X:d(x,x_0)\le r\}.}\)

W ogólności jest tylko zawieranie w jedną stronę. Przykład że nie zachodzi równość:
\(\displaystyle{ X=\mathbb{Z}}\) - zbiór liczb całkowitych z metryką \(\displaystyle{ d(x,y)=|x-y|}\),
\(\displaystyle{ x_0}\) - dowolna liczba całkowita, na przykład \(\displaystyle{ 0}\),
\(\displaystyle{ r=1}\).-- 26 cze 2012, o 22:05 --Chociaż jeśli dosłownie potraktować treść, to kontrprzykład jest trudniejszy do wymyślenia. Dosłownie treść można rozumieć: czy dla każdego \(\displaystyle{ x_0\in X}\) i każdego \(\displaystyle{ r_0>0}\) istnieją \(\displaystyle{ x_1\in X, r_1>0}\), że \(\displaystyle{ cl\{x\in X:d(x,x_0)<r_0\}=\{x\in X:d(x,x_1)\le r_1\}}\).

Moim zdaniem pytającemu chodziło o to drugie. Niech się sam wypowie.

tak chodziło o to drugie dziękuje bardzo za pomoc

No to niech przestrzenią będzie brzeg kwadratu o boku \(\displaystyle{ a}\) i jego przekątne, z metryką euklidesową.

\(\displaystyle{ \begin{picture}(0,0)
\put(3,3){$x_0$}
\put(33,33){$a$}
\thicklines
\multiput(-60,0)(60,60){2}{\line(1,-1){60}}
\multiput(-60,0)(60,-60){2}{\line(1,1){60}}
\put(-60,0){\line(1,0){120}}
\put(0,-60){\line(0,1){120}}
\end{picture}}\)

Niech \(\displaystyle{ x_0}\) będzie punktem przecięcia przekątnych oraz \(\displaystyle{ r_0=\frac a2}\).

Prosty kontrprzykład że nie musi: \(\displaystyle{ X=\mathbb R}\), metryka dyskretna (\(\displaystyle{ d(x,x)=0, d(x,y)=1}\) gdy \(\displaystyle{ x \neq y}\))
\(\displaystyle{ K(0,1)=\{0\} \\
\overline{(K(0,1))}=\{0\}, \\
\overline{K}(0,1)=\mathbb R}\)