Matematyka.pl

Witam,
\(\displaystyle{ \log_{125} 5 = x}\)
Jak rozwiązać według wzorów logarytmicznych takie zadanie? Czytałem kompedium wiedzy, ale żaden z wzorów mi nie pasuje.

Definicja logarytmu:
\(\displaystyle{ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \log_{125} 5 = x \Leftrightarrow 125^x = 5}\)

Znam definicję logarytmu. Nie wiem jak rozwiązać to zadanie wedle znanych mi wzorów logarytmicznych. Czy ktoś byłby na tyle miły i pomógłby?

Poszukaj dobrze w prawach działań na logarytmach w kompendium

Tak jak pisałem. Przekształca się to do postaci równoważnej:
\(\displaystyle{ 125^x = 5 \\ \left(5^3\right)^x = 5^1}\)
Jaki masz z tym dalej problem?

Jednak nie rozumiem.
\(\displaystyle{ \log_{2,5} \frac{2}{5}=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{25}{10} ^ x = \frac{2}{5}}\)

\(\displaystyle{ \frac {25}{10} ^ x = \frac{2}{5} ^{-1}}\)

Odpowiedź do tego brzmi -1, a przecież nie doprowadziłem wcale liczby po prawej stronie do tego stanu co ta po lewej, to jej po prostu skrócona wersja. To tak ma być, że nie ta sama cyfra dosłownie tylko jej ewentualnie skrócona/rozszerzona wersja?

\(\displaystyle{ \log_{a^b}a^c= \frac{c}{b}}\)

\(\displaystyle{ \log_{125} 5 =\log_{5^3} 5^1 = \frac{1}{3}}\)

Drugi przykład:

\(\displaystyle{ \log_{2,5} \frac{2}{5}=x}\)

\(\displaystyle{ 2,5=2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}}\)

\(\displaystyle{ \log_{2,5} \frac{2}{5}=\log_{\frac{5}{2} } \frac{2}{5}=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}^{x}=\frac{2}{5}}\)

\(\displaystyle{ \frac{5}{2}^{x}=\frac{5}{2}^{-1}}\)
\(\displaystyle{ x=-1}\)

wzory wzorami, ale wyłączaj myślenia, wystarczy rozumieć definicje i po kłopocie z taki przykładami

Dziekuje. A taki przykład? Ślęcze nad nim sporo czasu i nie mam już pomysłów:
\(\displaystyle{ \log_{x} \sqrt{5} = \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ x ^ { \frac{3}{2} } = \sqrt{5}}\)

Probówałem już to co umiem, czyli zamieniłem to do postaci :
\(\displaystyle{ x^3=5^1}\)

Kompletnie zdebilałem. Pomoże ktos? :>

I teraz pierwiastek trzeciego stopnia na obie strony:
\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{5}}\)

Dziekuję Althorion.
A jeszcze takie coś:
\(\displaystyle{ \log _{x} \sqrt{8} = -3}\)

\(\displaystyle{ x^{-3} = \sqrt{8}}\)

Jak to przekształcam to nie wiem jak to robić analogicznie, tzn. ten pierwiastek trzeciego stopnia, ale robię:

\(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{8} ^ {-1}}\)

\(\displaystyle{ x= 2 ^ {-1}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{1}{2}}\)

Tak samo ten przykład:

\(\displaystyle{ \log _{x} 27 = 6}\)

Nie wiem, wiem że źle, ale nie rozumiem tego do konca- tego jak to ten pierwiastek trzeciego stopnia na obie strony.

źle jest. podstaw za iks \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i zobacz że nie to samo co \(\displaystyle{ \sqrt{8}}\). Spróbuj tak \(\displaystyle{ x ^{-3}= \left( \frac{1}{x} \right) ^{3}}\).

-- 27 cze 2012, o 13:19 --

I jeszcze \(\displaystyle{ \sqrt{8}=8 ^{ \frac{1}{2} }}\)

-- 27 cze 2012, o 13:23 --

Ten przykład z logarytmem to z definicji i trzeba jeszcze ustalić dziedzinę a potem \(\displaystyle{ x ^{6}=27}\)

Najdziwniejsze jest to, że ja mam to odznaczone jako już zrobione czyli musiałem to zrozumieć, a teraz kompletnie straciłem rozum. Major, mogłbyś to rozpisać dla jednego przykladu, ale krok po kroku jak to zrobiłeś? Wtedy analogicznie zrobie, byłbym wdzieczny za dosłownie jeden przykład z tych dwóch co podałem.

W logarytmach zawsze bazujesz na zależności:

\(\displaystyle{ \log_{a}b = c \Rightarrow a^{c} = b}\)

Mając przykład:

\(\displaystyle{ \log_{x}27 = 6}\) Oczywiście założenie, że \(\displaystyle{ x \in R^{+} \setminus \left\{ 0\right\}}\)

Korzystając z tej zależności mamy:

\(\displaystyle{ x^{6} = 27}\)

Aby wyznaczyć z tego \(\displaystyle{ x}\) musimy to spierwiastkować:

\(\displaystyle{ x^{6} = 27 / \sqrt[6]{} \\
|x| = \sqrt[6]{27}\\
|x| = \sqrt[6]{3^{3}}\\
|x| = (3^{3})^{ \frac{1}{6}}\\
|x| = 3^ \frac{1}{2}\\
|x| = \sqrt{3}\\
x = \sqrt{3} \vee - \sqrt{3}}\)

Jednak z naszego poprzedniego założenia wynika, że \(\displaystyle{ x}\) ma być dodatnie, a więc \(\displaystyle{ x = \sqrt{3}}\) jest jedynym rozwiązaniem.

To masz to poprzednie rozpisane \(\displaystyle{ 8=2 ^{3}}\) a więc \(\displaystyle{ (2 ^{3}) ^{ \frac{1}{2} }=2 ^{ \frac{3}{2} }}\) prawą stronę już masz przekształconą więc \(\displaystyle{ 2 ^{ \frac{3}{2} }= \left( \frac{1}{x} \right) ^{3}}\) obie strony pierwiastkujemy 3 stopniem i dostajemy \(\displaystyle{ \left(2 \right) ^{ \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} }= \frac{1}{x}}\) dalej już prawie finał i \(\displaystyle{ 2 ^{ \frac{1}{2}}= \left(\frac{1}{x} \right)}\) a więc nasz \(\displaystyle{ x= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)