Diagonalizacja macierzy i odwracalność endomorfizmu

[luki1992]

1. Czy odwzorowanie liniowe jest diagonalizowane? Jeśli tak , to podaj bazę B w której macierz D odwzorowania f ma postać diagonalną. Podaj tę macierz D oraz nieosobliwą P, takie że \(\displaystyle{ D=PAP^{-1}}\)
\(\displaystyle{ f: (x,y,z) \in R ^{3} \rightarrow (6x+4y-6z, 2y, 4x+4y-4z) \in R ^{3}}\)

2. Wiedząc, że macierz endomorfizmu \(\displaystyle{ f: R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\) ma w bazach \(\displaystyle{ B _{1} =((1,0),(1,1)) B _{2} =((1,1),(0,-1))}\) Postać \(\displaystyle{ M _{f}(B _{1},B _{2})=\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\1&-1\end{array}\right]}\)

Witam, mam problem z tymi dwoma zadaniami z algebry Wczoraj mialem z tego egzamin (1 termin), niestety nie zdążyłem się do tego przygotować bo chciałem zdać najpierw inny przedmiot. Były bardzo podobne 2 zadania na egzaminie a niestety bardzo słabo przerobiliśmy je na ćwiczeniach.

W tym pierwszym to po prostu robię tak, że przy kolejnych współczynnikach tego odwzorowania "wklepuje" je po prostu do macierzy? Potem wstawiam sobie po przekątnych - lambdy i liczę wyznacznika przyrównuje do zera, sprawdzam krotności itd. Okej to rozumiem ale nie wiem co dalej Chyba trzeba te lambdy jakoś wrzucić do macierzy diagonalnej? Ale jak wyznaczyć te macierze P i \(\displaystyle{ P ^{-1}}\) ?

Co do drugiego to już w ogóle nie mam pomysłu, tam się też trzeba bawić jakimiś macierzami przejścia?

Z góry bardzo dziękuję za wyjaśnienie i jakieś poglądowe rozwiązanie, bo bardzo chciałbym już w piątek zdać ten 2 termin

[octahedron]

Moja odpowiedź była błędna

[luki1992]

A jakbyś to zrobił chociaż mniej więcej? I jak ogólnie robi się takie zadania? Prosze o jakieś wskazówki

[octahedron]

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(6x+4y-6z, 2y, 4x+4y-4z)\\\\
A=\begin{bmatrix}6&4&-6\\0&2&0\\4&4&-4\end{bmatrix}\\\\
\det(A-\lambda I)=\det\begin{bmatrix}6-\lambda&4&-6\\0&2-\lambda&0\\4&4&-4-\lambda\end{bmatrix}=\lambda(\lambda-2)^2\\\\
\lambda_1=0:\\\\
\begin{bmatrix}6&4&-6\\0&2&0\\4&4&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=0\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\\\
\begin{cases}6x+4y-6z=0\\2y=0\\4x+4y-4z=0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y=0\\x=z \end{cases} \Rightarrow u_{\lambda_1}=c_1\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\\\\
\lambda=2:\\\\
\begin{bmatrix}6&4&-6\\0&2&0\\4&4&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=2\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\\\
\begin{cases}6x+4y-6z=2x\\2y=2y\\4x+4y-4z=2z\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y\in R\\x=\frac{3}{2}z-y \end{cases} \Rightarrow u_{\lambda_2}=c_2\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}+c_3\begin{bmatrix}0\\0\\\frac{3}{2}\end{bmatrix}\\\\
P=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\1&0&\frac{3}{2}\end{bmatrix}}\)

A w drugim chyba brakuje polecenia, co trzeba zrobić.

[luki1992]

Wielkie dzięki Tylko dla lambdy=2 dlaczego mnożyłeś po prawej stronie te współrzędne [x,y,z] x2? Czy na to samo by wyszło jakby odjąć te lambdy po przekątnej i przyrównać do 0 tak jak w poprzednim przypadku?

I masz rację nie dokończyłem polecenia Trzeba sprawdzić czy f jest odwzorowaniem odwracalnym. Jeśli tak to wyznacz \(\displaystyle{ f ^{-1}}\)

Tu bardziej niestety nie wiem o co chodzi

[octahedron]

Tylko dla lambdy=2 dlaczego mnożyłeś po prawej stronie te współrzędne [x,y,z] x2? Czy na to samo by wyszło jakby odjąć te lambdy po przekątnej i przyrównać do 0 tak jak w poprzednim przypadku?

Nie, nie wyszłoby. Tutaj szukamy wektorów własnych \(\displaystyle{ \vec{u}_{\lambda}}\) odpowiadających wartościom własnym \(\displaystyle{ \lambda}\), a z definicji \(\displaystyle{ A\vec{u}_{\lambda}=\lambda\vec{u}_\lambda}\), dlatego tak mnożymy.

[MarkoseK]

Tylko dla lambdy=2 dlaczego mnożyłeś po prawej stronie te współrzędne [x,y,z] x2? Czy na to samo by wyszło jakby odjąć te lambdy po przekątnej i przyrównać do 0 tak jak w poprzednim przypadku?

Nie, nie wyszłoby.

\(\displaystyle{ (A-\lambda\mathbb{I})x=0 \Leftrightarrow Ax-\lambda\mathbb{I}x=0 \Leftrightarrow Ax=\lambda\mathbb{I}x \Leftrightarrow Ax=\lambda x}\)

[luki1992]

\(\displaystyle{ (A-\lambda\mathbb{I})x=0 \Leftrightarrow Ax-\lambda\mathbb{I}x=0 \Leftrightarrow Ax=\lambda\mathbb{I}x \Leftrightarrow Ax=\lambda x}\)

Czyli ostatecznie wyszłoby na to samo? Bo znalazłem gdzieś na necie przykłady z diagonalizacją i niektórzy tak robili, że po prostu wstawiali te lambdy po przekątnej, mnożyli razy wektor [x,y,z] i przyrównywali do zera.

[octahedron]

Wyszłoby to samo. Wcześniej jakoś tak zrozumiałem, że chcesz i odjąć, i pomnożyć.

[luki1992]

2. Wiedząc, że macierz endomorfizmu \(\displaystyle{ f: \RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2}}\) ma w bazach \(\displaystyle{ B _{1} =((1,0),(1,1)), B _{2} =((1,1),(0,-1))}\) postać \(\displaystyle{ M _{f}(B _{1},B _{2})=\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\1&-1\end{array}\right]}\) Czy f jest odwzorowaniem odwracalnym? Jeśli tak to wyznacz \(\displaystyle{ f ^{-1}}\)

Okej to super Już rozumiem o co chodzi z tą diagonalizacją. Powyżej podałem całą treść tego drugiego zadania. Jeszcze tylko tu bym prosił o jakieś rozjaśnienie.

[octahedron]

\(\displaystyle{ u_{B_2}=M_fv_{B_1} \Rightarrow v_{B_1}=M_f^{-1}u_{B_2}\\\\
\left[ \begin{array}{cc|cc}1&-2&1&0\\1&-1&0&1\end{array}\right]\quad w_2-w_1\\\\
\left[ \begin{array}{cc|cc}1&-2&1&0\\0&1&-1&1\end{array}\right]\quad w_1+2w_2\\\\
\left[ \begin{array}{cc|cc}1&0&-1&2\\0&1&-1&1\end{array}\right]\\\\
M_f^{-1}=\left[ \begin{array}{cc}-1&2\\-1&1\end{array}\right]}\)

[luki1992]

No to tylko odwróciłeś macierz A żeby zrobić odwzorowanie odwracalne to nie trzeba zastosować tu jakichś macierzy przejścia? I ogólnie warunkiem na to, żeby odwzorowanie było odwracalne to wyznacznik tej Mf musi być różny od 0?-- 28 czerwca 2012, 13:03 --Mam jeszcze jedno pytanie. Jak sprawdzić czy odwzorowanie jest izomorfizmem, monomorfizmem lub epimorfizmem? Z góry dzięki

[Majeskas]

Skoro macierz \(\displaystyle{ M(f)_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}}\) dało się odwrócić, to znaczy, że odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) jest odwracalne i dobór baz nie ma tu znaczenia.

I ogólnie warunkiem na to, żeby odwzorowanie było odwracalne to wyznacznik tej Mf musi być różny od 0?

Tak

Mam jeszcze jedno pytanie. Jak sprawdzić czy odwzorowanie jest izomorfizmem, monomorfizmem lub epimorfizmem? Z góry dzięki

Chodzi o sytuację, w której mamy daną macierz tego przekształcenia?

\(\displaystyle{ f}\) jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ f}\) jest kwadratowa i nieosobliwa.

\(\displaystyle{ f}\) jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy macierz \(\displaystyle{ f}\) ma maksymalny rząd.

\(\displaystyle{ f}\) jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń rozwiązań układu \(\displaystyle{ M(f)\vec x^{\mathrm{T}}=\vec{0}}\) jest zerowa.

[natasza123]

a czy mógłby by mi ktos powiedziec jak wyznaczyć wzór \(\displaystyle{ f^{-1}}\) z zadania 2?

-- 2 wrz 2013, o 14:32 --

bardzo prosze niech ktos powie mi jak wyznaczyc przepis odwzorowania dla \(\displaystyle{ f^{-1}}\)