Strona 1 z 1
zbieżnośc i suma szeregu
: 23 cze 2012, o 16:44
autor: Agniezcka
zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ne^{-2nx}}\)
wyznacz jego sumę i sprawdź czy jego suma jest funkcją ciągłą w przedziale jego zbieżnosci.
zbieżnośc i suma szeregu
: 23 cze 2012, o 16:47
autor: miodzio1988
zbieżność z kryterium Cauchy'ego sprawdź
zbieżnośc i suma szeregu
: 23 cze 2012, o 16:48
autor: Agniezcka
A jak dalej?
zbieżnośc i suma szeregu
: 24 cze 2012, o 13:38
autor: forgottenhopes
Jak sprawdzić czy suma tego szeregu jest funkcją ciągłą w przedziale zbieżności?
zbieżnośc i suma szeregu
: 26 cze 2012, o 00:07
autor: AdamL
forgottenhopes pisze:Jak sprawdzić czy suma tego szeregu jest funkcją ciągłą w przedziale zbieżności?
Jeśli szereg jest w przedziale zbieżności zbieżny jednostajnie to reprezentuje funkcję ciągła w tym przedziale.
zbieżnośc i suma szeregu
: 26 cze 2012, o 09:10
autor: brzoskwinka1
Rozważmy szereg potęgowy
\(\displaystyle{ f(v) = \sum_{n=0}^{\infty} v^n =\frac{1}{1-v}}\) zbieżny w przedziale
\(\displaystyle{ (-1 ,1) .}\) Ponieważ jest o niemal jednostajnie zbieżny w tym przedziale, więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-v)^2 } =f' (v) =\sum_{n=0}^{\infty} nv^{n-1}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{v}{(1-v)^2 } =vf' (v) =\sum_{n=0}^{\infty} nv^{n}\mbox{ dla } |v|<1}\)
skąd
\(\displaystyle{ \frac{e^{-2x}}{(1-e^{-2x})^2 } =e^{-2x} f' ( e^{-2x}) =\sum_{n=0}^{\infty} ne^{-2nx}\mbox{ dla } x>0.}\)