Matematyka.pl

Oblicz całkę \(\displaystyle{ \int_{L}^{}xydl}\) gdzie L jest łukiem okręgu \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+ 2y=0}\) leżącym w 4 ćwiartce układu współrzędnych. Ogólnie mój problem polega na tym że nie wiem za bardzo jak w takim wypadkach, wprowadzając parametryzację, wyznaczyć zakres t ( w tym wypadku nie dość że okrąg ten ma środek w punkcie (0,-1) to jeszcze ta 4 cw.). Z góry dzięki za pomoc.

Wykonaj rysunek. \(\displaystyle{ t\in\left[\pi,2\pi\right]}\)

Z rysunku wynika że prawa połowa tego okręgu leży w 4 cw. ;/

Na tej podstawie widać, jaki jest zakres \(\displaystyle{ t}\).

Jak dla mnie to wychodzi zakres \(\displaystyle{ t \in \left[ \frac{3 \pi }{2},2 \pi \right]}\) narysowałem sobie sinusoidę i dla tych wartosci wychodzi odpowiedni zakres ;/

Wykonaj poprawny rysunek. W czwartej ćwiartce znajduje się połowa okręgu.

No znajduje się, znajduje. Tylko jakbyś mógł to wytłumaczyć dlaczego tak musi być to byłym wdzięczny...

-- 22 cze 2012, o 18:40 --

A więc tak. Parametryzacja wygląda następująco:
\(\displaystyle{ x=r\cos t}\)

\(\displaystyle{ y=-1+\sin t}\)

Jak było powiedziane, jest to okrąg leżący w punkcie\(\displaystyle{ (0,-1)}\), o promieniu \(\displaystyle{ 1}\). 4 cw. czyli wartości x powinny być większe, równe 0, natomiast y- mniejsze, równe 0. Dla \(\displaystyle{ t= \pi}\) mamy \(\displaystyle{ x=-1, y=-1}\). A punkt ten nie leży w 4 ćw. Co w moim rozważaniu jest złe? Według mnie \(\displaystyle{ t \in \left[ \frac{3 \pi }{2},2 \pi \right]}\)

Najpierw zobaczyłem, że równanie wygląda tak: \(\displaystyle{ x^2+y^2-2x=0}\). Jednakże przy \(\displaystyle{ x^2+y^2+2y=0}\) okrąg znajduje się w innym położeniu. W Twoim zakresie brakuje jeszcze \(\displaystyle{ t\in\left[0,\frac\pi2\right]}\). Można to zapisać prościej: \(\displaystyle{ t\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]}\).

No niby dobrze wychodzi