[MIX][Klub 444] Runda szósta
: 22 cze 2012, o 10:40
\(\displaystyle{ 1}\). Dana jest liczba \(\displaystyle{ n=2^{k+1}}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą dodatnią większą niż \(\displaystyle{ 1}\). Pokazać, że dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_{1}< a_{2}< .... < a_{n}}\) liczba \(\displaystyle{ \prod_{1 \le i<j \le n}^{}(a_{i} + a_{j})}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ k+1}\) różnych dzielników pierwszych.
\(\displaystyle{ 2}\). Danych zbiór \(\displaystyle{ n}\) (\(\displaystyle{ n \ge 5}\)) różnych punktów na płaszczyźnie. Dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ X}\) z tego zbioru istnieją takie \(\displaystyle{ 4}\) inne punkty ze zbioru które leżą na okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ X}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Znaleźć największą możliwą wartość \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 3}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\) leżą na prostych odpowiednio \(\displaystyle{ OA}\), \(\displaystyle{ OB}\) i \(\displaystyle{ OC}\) tak, że \(\displaystyle{ OA_1=OB_1=OC_1}\). Pokazać, że proste prostopadłe do prostych \(\displaystyle{ OA}\), \(\displaystyle{ OB}\) i \(\displaystyle{ OC}\) przechodzące przez punkty odpowiednio \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\) przecinają odpowiednie boki trójkąta w trzech współliniowych punktach.
\(\displaystyle{ 4}\). Znaleźć wszystkie nieujemne liczby całkowite \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ (2^{n} -1)(3^{n} - 1)=m^2}\).
\(\displaystyle{ 2}\). Danych zbiór \(\displaystyle{ n}\) (\(\displaystyle{ n \ge 5}\)) różnych punktów na płaszczyźnie. Dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ X}\) z tego zbioru istnieją takie \(\displaystyle{ 4}\) inne punkty ze zbioru które leżą na okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ X}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Znaleźć największą możliwą wartość \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ 3}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\) leżą na prostych odpowiednio \(\displaystyle{ OA}\), \(\displaystyle{ OB}\) i \(\displaystyle{ OC}\) tak, że \(\displaystyle{ OA_1=OB_1=OC_1}\). Pokazać, że proste prostopadłe do prostych \(\displaystyle{ OA}\), \(\displaystyle{ OB}\) i \(\displaystyle{ OC}\) przechodzące przez punkty odpowiednio \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\) przecinają odpowiednie boki trójkąta w trzech współliniowych punktach.
\(\displaystyle{ 4}\). Znaleźć wszystkie nieujemne liczby całkowite \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ (2^{n} -1)(3^{n} - 1)=m^2}\).