Matematyka.pl

Witam.
Mam zadanie o następującej treści:

Suwak A o masie \(\displaystyle{ m_{1}}\) umocowany na sprężynie o stałej \(\displaystyle{ c}\) może przesuwać się po gładkiej poziomej prowadnicy. Do suwaka przymocowany jest na przegubie nieważki pręt o długości \(\displaystyle{ l}\) z umieszczoną na końcu skupioną masą \(\displaystyle{ m_{2}}\). Znaleźć częstości kołowe drgań układu.

Podzieliłem układ zastępując pręt siłą reakcji. Otryzmałem taki układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m_{1} \ddot{x_{1}}=-c\dot{x_{1}}+R\sin(\varphi)\\ m_{2} \frac{d^{2}(x_{2}\sin(\varphi))} {dt^{2}} =R\sin(\varphi) \\ m_{2} \frac{d^{2}(x_{2}\cos(\varphi))} {dt^{2}} =R\cos(\varphi)-m_{2}g\end}\)

Gdzie \(\displaystyle{ x_{2}\cos(\varphi)}\) to ruch kulki w pionie, a \(\displaystyle{ x_{2}\sin(\varphi)}\) w poziomie.


Tylko, że to ciągle za mało. Potrzebna mi albo jeszcze jedna zależność, albo inny pomysł na podejście do zadania.

Z góry dziękuję.

Wystarczy wprowadzić dwie zmienne: \(\displaystyle{ x}\) - położenie klocka, oraz \(\displaystyle{ \phi}\) - kąt odchylenia kulki od kierunku pionowego.

Widzę to, tylko nie bardzo umiem zamienić moje wyobrażenie o wpływie ruchu klocka na ruch kulki na konkretne równia. Widzę tylko, że to będzie ruch płaski.

Zgadza się - jest to ruch płaski. Wyobrażenie nie jest potrzebne - wystarczy ułożyć równania ruchu (najlepiej byłoby zastosować formalizm lagranżowski) i rozwiązać je.

Chyba mam. Zakładam, że wychodząc z ruchu płaskiego równania powinny wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m_{1} \ddot{x_{1}}=-c\dot{x_{1}}+R\sin(\varphi)\\ m_{2} \ddot{x_{1}} =R\sin(\varphi) \\ I\ddot{\varphi}=m_{2}gl\end}\)

Mój tok rozumowania:

Ruchem unoszenia jest ruch suwaka zatem prędkość ruchu unoszenia to właśnie ruch suwaka. Ruch obrotowy to ruch dookoła mocowania pręta do suwaka, który odbywa się pod działaniem momentu siły bezwładności

Moment siły bezwładności? A w którym układzie? Nie do końca tak jest, położenie, a więc i prędkość masy \(\displaystyle{ m_2}\) zależy od kąta wychylenia.

Obawiam się, że już nic więcej nie wymyślę. Zapisałem tam moment siły bezwładności nie mając pomysłu na nic innego, uznając, że skoro ruch obrotowy jest w układzie związanym z suwakiem, który nie jest inercyjny, to występują siły bezwładności.

Wiem, że podbijanie nie jest zbyt eleganckie, ale dość zależy mi na rozwiązaniu tego zadania. Mógłby ktoś podpowiedź co poprawić w układzie równań, który ostatecznie stworzyłem?