Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (X_1,X_2,...)}\) będzie ciągiem nie zależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie \(\displaystyle{ \Gamma(1,b)}\). Dla \(\displaystyle{ n=1,2,3...}\) niech \(\displaystyle{ S_n=X_1+X_2+...+X_n}\). Jaki jest rozkład \(\displaystyle{ S_n}\)? Wyznacz ciągi \(\displaystyle{ (a_n),(b_n)}\) tak aby granicą rozkładów zmiennych \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n}\) przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\) był rozkład \(\displaystyle{ N(1,4)}\).

Umiem rozwiązać to zadanie gdyby był podany rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\), bo wtedy \(\displaystyle{ \varphi_{S_n} (t) =\left( 1-\frac{it}{b} \right)^{-n}\sim\Gamma(n,b)}\), a potem musi zachodzić \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n= \frac{S_n-E(S_n)}{ \sqrt{Var(S_n)} }}\), czyli \(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{\sqrt{Var(S_n)}} =\frac{b}{\sqrt n}}\) i \(\displaystyle{ b_n=- \frac{E(S_n)}{\sqrt{Var(S_n)}}=-\sqrt n}\).
Tylko nie wiem jak to będzie w przypadku rozładu \(\displaystyle{ N(1,4)}\).

również mam problem z tym samym zadaniem co kolega, ma ktoś może pomysł?

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal N(0,1)}\), to \(\displaystyle{ \sigma X+\mu}\) ma rozkład ...

ma rozkład \(\displaystyle{ N}\)\(\displaystyle{ (m,sigma)}\)?
w takim razie powinnam policzyć tą sumę dla \(\displaystyle{ (\sigma X1+m, \sigma
X2+m... \sigma Xn+m}\)? nie wiem czy to coś zmieni bo funkcja
charakterystyczna wyjdzie taka sama, więc chyba trzeba coś zmienić w tym

\(\displaystyle{ a_nS_n+b_n= \frac{S_n-E(S_n)}{ \sqrt{Var(S_n)} }}\)

to znaczy zapisać inaczej tą wariancję, ale nie wiem jak;(

Jeśli granicą rozkładów \(\displaystyle{ a_nS_n+b_n}\) jest \(\displaystyle{ \mathcal N(0,1)}\), to granicą rozkładów \(\displaystyle{ \sigma(a_nS_n+b_n)+\mu}\) jest ...

No pewnie \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma)}\) ale nie wiem jak to wykorzystać później w zadaniu