Matematyka.pl

Witam!
Mam rozwiązać równanie rzędu II:
\(\displaystyle{ x'' + e^{-t}x' + x = t^2}\)
metodą szeregów potęgowych.

I dochodzę do momentu, w którym nie wiem jak to obliczyć:
\(\displaystyle{ e^{-t}x' = e^{-t} * \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}n t^{n-1} = ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!} t^{n} ) * ( \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} (n+1) t^{n} )}\)

I co dalej? Jak to sensownie rozpisać?

-> iloczyn Cauchy'ego szeregów

Ok, z tym że właśnie nie wiem jak go ruszyć. Wzór niby widziałem, ale jak podstawiam i liczę to nie mogę dojść do jakiejś sensownej formy...

Wiele się uprościć nie da - w końcu szereg na \(\displaystyle{ x'}\) jest dość ogólny. Stąd współczynniki przy kolejnych potęgach \(\displaystyle{ t}\) w iloczynie tych dwóch szeregów będą pewnymi sumami. Jedyna nadzieja, że ostatecznie wyjdzie z tego jakaś sensowna rekurencja.